- Геодезический поток
-
Геодезическим потоком на многообразии
называется поток (или, иными словами, однопараметрическая группа диффеоморфизмов) на касательном расслоении
, траектории которого определяются следующим образом: каждый вектор
за время
сдвигается вперёд вдоль касающейся его геодезической на время
, оставаясь касательным к этой геодезической.
В определённом смысле, такой поток обобщает движение с постоянной скоростью в евклидовом пространстве
. Стоит также подчеркнуть, что, несмотря на название, геодезический поток является потоком в смысле динамических систем, определённом именно на касательном расслоении
, а не на самом многообразии
.
Часто рассматривают геодезический поток на пространстве
единичных касательных векторов (поскольку длина вектора сохраняется при геодезическом потоке).
Уравнение геодезического потока в римановом многообразии можно рассматривать как уравнение гамильтоновой механики при нулевой потенциальной энергии.
Примеры
- Как и было сказано выше, для
со стандартной Евклидовой метрикой геодезический поток задаёт движение с постоянной скоростью:
- Траектории геодезического потока на плоскости Лобачевского стремятся к абсолюту как в прямом, так и в обратном времени.
- Геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны оказывается потоком Аносова: его динамика хаотична. Частным случаем этого является поток на римановой поверхности рода
, снабжённой метрикой Пуанкаре.
См. также
- Геодезическая
- Принцип Ферма
- Орициклический поток
Литература
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, т.2. Геометрия многообразий. М.: Эдиториал УРСС, 1998.
На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.Категории:- Риманова (и псевдориманова) геометрия
- Динамические системы
- Как и было сказано выше, для
Wikimedia Foundation. 2010.