- Лямбда-исчисление
-
Ля́мбда-исчисле́ние (λ-исчисление) — формальная система, разработанная американским математиком Алонзо Чёрчем, для формализации и анализа понятия вычислимости.
λ-исчисление может рассматриваться как семейство прототипных языков программирования. Их основная особенность состоит в том, что они являются языками высших порядков. Тем самым обеспечивается систематический подход к исследованию операторов, аргументами которых могут быть другие операторы, а значением также может быть оператор. Языки в этом семействе являются функциональными, поскольку они основаны на представлении о функции или операторе, включая функциональную аппликацию и функциональную абстракцию. λ-исчисление реализовано Джоном Маккарти в языке Лисп. Вначале реализация идеи λ-исчисления была весьма громоздкой. Но по мере развития Лисп-технологии (прошедшей этап аппаратной реализации в виде Лисп-машины) идеи получили ясную и четкую реализацию.
Содержание
Чистое λ-исчисление
Это простейший из семейства прототипных языков программирования, чистое λ-исчисление, термы которого, называемые также объектами (обами), или λ-термами, построены исключительно из переменных применением аппликации и абстракции. Изначально наличия каких-либо констант не предполагается.
Аппликация и абстракция
В основу λ-исчисления положены две фундаментальные операции:
- Аппликация означает применение или вызов функции по отношению к заданному значению. Её обычно обозначают
, где
— функция, а
— аргумент. Это соответствует общепринятой в математике записи
, которая тоже иногда используется, однако для λ-исчисления важно то, что
трактуется как алгоритм, вычисляющий результат по заданному входному значению. В этом смысле аппликация
к
может рассматриваться двояко: как результат применения
к
, или же как процесс вычисления
. Последняя интерпретация аппликации связана с понятием β-редукции.
- Абстракция или λ-абстракция в свою очередь строит функции по заданным выражениям. Именно, если
— выражение, свободно содержащее
, тогда запись
означает:
функция от аргумента
, которая имеет вид
, обозначает функцию
. Таким образом, с помощью абстракции можно конструировать новые функции. Требование, чтобы
свободно входило в
, не очень существенно — достаточно предположить, что
, если это не так.
β-редукция
Поскольку выражение
обозначает функцию, ставящую в соответствие каждому
значение
, то для вычисления выражения
,
в которое входят и аппликация и абстракция, необходимо выполнить подстановку числа 3 в терм
вместо переменной
. В результате получается
. Это соображение в общем виде записывается как
и носит название β-редукция. Выражение вида
, то есть применение абстракции к некому терму, называется редексом (redex). Несмотря на то, что β-редукция по сути является единственной «существенной» аксиомой λ-исчисления, она приводит к весьма содержательной и сложной теории. Вместе с ней λ-исчисление обладает свойством полноты по Тьюрингу и, следовательно, представляет собой простейший язык программирования.
η-преобразование
η-преобразование выражает ту идею, что две функции являются идентичными тогда и только тогда, когда, будучи применённые к любому аргументу, дают одинаковые результаты. η-преобразование переводит друг в друга формулы
и
(в обратную сторону — только если
не имеет свободных вхождений в
: иначе свободная переменная
после преобразования станет связанной внешней абстракцией).
Каррирование (карринг)
Функция двух переменных
и
может быть рассмотрена как функция одной переменной
, возвращающая функцию одной переменной
, то есть как выражение
. Такой приём работает точно так же для функций любой арности. Это показывает, что функции многих переменных могут быть выражены в λ-исчислении и являются «синтаксическим сахаром». Описанный процесс превращения функций многих переменных в функцию одной переменной называется карринг (также: каррирование), в честь американского математика Хаскелла Карри, хотя первым его предложил М. Э. Шейнфинкель (1924).
Семантика бестипового λ-исчисления
Тот факт, что термы λ-исчисления действуют как функции, применяемые к термам λ-исчисления (то есть, возможно, к самим себе), приводит к сложностям построения адекватной семантики λ-исчисления. Чтобы придать λ-исчислению какой-либо смысл, необходимо получить множество D, в которое вкладывалось бы его пространство функций D → D. В общем случае такого D не существует по соображениям ограничений на мощности этих двух множеств, D и функций из D в D: второе имеет бо́льшую мощность, чем первое.
Эту трудность в начале 1970-х годов преодолел Дана Скотт, построив понятие области D (изначально на полных решётках[1], в дальнейшем обобщив до полного частично упорядоченного множества со специальной топологией) и урезав D → D до непрерывных в этой топологии функций[2]. На основе этих построений была создана денотационная семантика языков программирования, в частности, благодаря тому, что с помощью них можно придать точный смысл таким двум важным конструкциям языков программирования, как рекурсия и типы данных.
Связь с рекурсивными функциями
Рекурсия — это определение функции через себя; на первый взгляд, лямбда-исчисление не позволяет этого, но это впечатление обманчиво. Например, рассмотрим рекурсивную функцию, вычисляющую факториал:
- f(n) = 1, if n = 0; else n × f(n - 1).
В лямбда-исчислении, функция не может непосредственно ссылаться на себя. Тем не менее, функции может быть передан параметр, связанный с ней. Как правило, этот аргумент стоит на первом месте. Связав его с функцией, мы получаем новую, уже рекурсивную функцию. Для этого, аргумент, ссылающийся на себя (здесь обозначен как r), обязательно должен быть передан в тело функции.
- g := λr. λn.(1, if n = 0; else n × (r r (n-1)))
- f := g g
Это решает специфичную проблему вычисления факториала, но решение в общем виде также возможно. Получив лямбда-терм, представляющий тело рекурсивной функции или цикл, передав себя в качестве первого аргумента, комбинатор неподвижной точки возвратит необходимую рекурсивную функцию или цикл. Функции не нуждаются в явной передаче себя каждый раз. Так как существует несколько определений комбинаторов неподвижной точки. Самый простой из них:
- Y = λg.(λx.g (x x)) (λx.g (x x))
В лямбда-исчислении, Y g — неподвижная точка g; продемонстрируем это:
- Y g
- λh.((λx.h (x x)) (λx.h (x x))) g
- (λx.g (x x)) (λx.g (x x))
- g ((λx.g (x x)) (λx.g (x x)))
- g (Y g).
Теперь, чтобы определить факториал, как рекурсивную функцию, мы можем просто написать g (Y g) n, где n — число, для которого вычисляется факториал. Пусть n = 4, получаем:
g (Y g) 4 (λfn.(1, if n = 0; and n·(f(n-1)), if n>0)) (Y g) 4 (λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0)) 4 1, if 4 = 0; and 4·(g(Y g) (4-1)), if 4>0 4·(g(Y g) 3) 4·(λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0) 3) 4·(1, if 3 = 0; and 3·(g(Y g) (3-1)), if 3>0) 4·(3·(g(Y g) 2)) 4·(3·(λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0) 2)) 4·(3·(1, if 2 = 0; and 2·(g(Y g) (2-1)), if 2>0)) 4·(3·(2·(g(Y g) 1))) 4·(3·(2·(λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0) 1))) 4·(3·(2·(1, if 1 = 0; and 1·((Y g) (1-1)), if 1>0))) 4·(3·(2·(1·((Y g) 0)))) 4·(3·(2·(1·((λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0) 0)))) 4·(3·(2·(1·(1, if 0 = 0; and 0·((Y g) (0-1)), if 0>0)))) 4·(3·(2·(1·(1)))) 24
Каждое определение рекурсивной функции может быть представлено как неподвижная точка соответствующей функции, следовательно, используя Y, каждое рекурсивное определение может быть выражено как лямбда-выражение. В частности, мы можем определить вычитание, умножение, сравнение натуральных чисел рекурсивно.
В языках программирования
В языках программирования под «λ-исчислением» зачастую понимается механизм «анонимных функций» — callback-функций, которые можно определить прямо в том месте, где они используются, и которые имеют доступ к локальным переменным текущей функции.
См. также
- Аппликативные вычислительные системы
- Типизированное λ-исчисление
- Комбинаторная логика
- Функциональное программирование
- Анонимная функция
Примечания
- ↑ Scott D.S. The lattice of flow diagrams.-- Lecture Notes in Mathematics, 188, Symposium on Semantics of Algorithmic Languages.-- Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1971, pp. 311—372.
- ↑ Scott D.S. Lattice-theoretic models for various type-free calculi. — In: Proc. 4th Int. Congress for Logic, Methodology, and the Philosophy of Science, Bucharest, 1972.
Литература
- Барендрегт X. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 606 с.
- Чечулин В. Л. О непротиворечивости лямбда-исчисления // В мире научных открытий, серия Математика. Механика. Информатика, 2011, № 1, сс. 203—206
Категории:- Теория алгоритмов
- Лямбда-исчисление
- Формальные методы
- Аппликация означает применение или вызов функции по отношению к заданному значению. Её обычно обозначают
Wikimedia Foundation. 2010.