Бета-функция Эйлера

Бета-функция Эйлера
График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (Β-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

\mathrm{\Beta}(x,y)=\int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

определённая при \Re(x)>0, \Re(y)>0.

Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром, а название ей дал Жак Бине.

Содержание

Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

Β(x,y) = Β(y,x).

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)},

где Γ(x) — Гамма-функция;

\mathrm{\Beta}(x,\;y)=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta,\qquad\Re(x)>0,\ \Re(y)>0;
\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,\qquad\Re(x)>0,\ \Re(y)>0;
\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)},

где (x)n — нисходящий факториал, равный x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot\ldots\cdot(x-n+1).

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

\mathrm{C}_n^k = \frac1{(n+1)\Beta(n-k+1,\;k+1)}.

Производные

Частные производные у бета-функции следующие:

{\partial\over\partial x}\Beta(x,\;y)=\Beta(x,\;y)\left( {\Gamma^\prime(x)\over\Gamma(x)}-{\Gamma^\prime(x+y)\over\Gamma(x+y)}\right)=\Beta(x,\;y)(\psi(x)-\psi(x+y)),

где ψ(x) — дигамма-функция.

Неполная бета-функция

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее определённый интеграл неопределённым:

\Beta_x(a,\;b)=\int\limits_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.

При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

I_x(a,\;b)=\frac{\Beta_x(a,\;b)}{\Beta(a,\;b)}.

Свойства I(x)

I_0(a,\;b)=0;
I_1(a,\;b)=1;
I_x(a,\;b)=1-I_{1-x}(b,\;a).

Применение

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Бета-функция Эйлера" в других словарях:

  • Бета-функция Дирихле — действительного аргумента x Бета функция Дирихле (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета функцией Каталана (Catalan beta function) …   Википедия

  • Бета-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Бета. Это статья о бета функции Эйлера. См. также статью о бета функции Дирихле. График бета функции при вещественных аргументах В математике бета функцией ( функц …   Википедия

  • Бета (буква) — Греческий алфавит Αα Альфа Νν Ню …   Википедия

  • ЭЙЛЕРА ИНТЕГРАЛЫ — интегралы вида гамма функция, или Э. и. второго рода [Л. Эйлер (L. Euler), 1729 30], и вида бета функция, или Э. и. первого рода [Л. Эйлер, 1730 31, ранее рассматривался также И. Ньютоном (I. Newton) и Дж. Уоллисом (Валлисом) (J. Wallis)]. В… …   Физическая энциклопедия

  • ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости комплексного переменного z, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., т. е. целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция ez,… …   Математическая энциклопедия

  • Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 …   Википедия

  • Гамма-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Гамма. Гамма функция математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается . Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма… …   Википедия

  • Интеграл Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 …   Википедия

  • ГАММА-ФУНКЦИЯ, — Г функция, трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г. ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения иа к рого Л. Эйлер… …   Математическая энциклопедия

  • Числовая функция — В математике числовая функция  это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств  как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел . Содержание 1 График функции …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»