- Бета-функция Эйлера
-
- Это статья о бета-функции Эйлера. См. также статью о бета-функции Дирихле.
В математике бета-функцией (Β-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:
- ,
определённая при , .
Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром, а название ей дал Жак Бине.
Содержание
Свойства
Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть
- Β(x,y) = Β(y,x).
Бета-функцию можно выразить через другие функции:
- ,
где Γ(x) — Гамма-функция;
- ;
- ;
- ,
где (x)n — нисходящий факториал, равный .
Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:
- .
Производные
Частные производные у бета-функции следующие:
- ,
где ψ(x) — дигамма-функция.
Неполная бета-функция
Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее определённый интеграл неопределённым:
- .
При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной.
Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:
- .
Свойства I(x)
- ;
- ;
- .
Применение
С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.