Бесконечномерное пространство

Ба́зис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Существуют две основных разновидности определения: базис Га́меля, и базис Ша́удера. Базис Га́меля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре). В функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства, под базисом обычно понимается базис Ша́удера, понятие, основанное на разложении в ряды. В том случае, когда пространство имеет конечный базис (т.е. пространство конечномерно), обе этих разновидности совпадают.

Базис Га́меля

Базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), при этом ни один из базисных векторов не представим в виде конечной линейной комбинации остальных (линейная независимость).

Свойства

• В каждом линейном пространстве существует базис (доказательство этой теоремы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора).
• Базисами являются максимальные по включению линейно независимые системы векторов, и только они.
• Базисами являются минимальные по включению полные системы векторов, и только они.
• Единственная тривиальная (равная нулю) линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.
• Для любого вектора существует единственное представление в виде конечной линейной комбинации векторов базиса.
• Мощность базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

Связанные определения

• Линейное пространство называют конечномерным, если оно имеет конечный базис, и бесконечномерным, если оно не имеет конечного базиса.
• Представление вектора в виде (конечной) линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису Гамеля.

Примеры

• Векторы $e_1, e_2,\dots,e_n$ пространства $\R^n$ образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: $\det\{e_1, e_2,\dots,e_n\} \neq 0$.
• В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: $1, x, x^2,\dots,x^n,\dots$.
• Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Ша́удера

Система векторов {e_n} топологического векторного пространства L называется базисом Шаудера (англ. Shauder basis), если каждый элемент $f \in L$ разлагается в единственный, сходящийся к f ряд по {e_n}:

$f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i ,$

где f_i — числа, называемые коэффициентами разложения вектора f по базису {e_n}.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд) для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций $\{1,\sin(2\pi nx),\cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\}$ является базисом Шаудера в пространстве L²[0,1]. В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C[a,b]

C[a,b] — банахово пространство с нормой $\|f\| = \max_{x \in [a,b]}|f(x)|$. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве L²[a,b], но не в C[a,b]. Шаудер сконструировал базис Шаудера {e_n} для C[a,b]. Пусть $\{x_0, x_1,\dots,x_n,\dots\}$ — плотное счетное множество точек на [a,b], x₀ = a, x₁ = b, остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка [a,b], упорядоченными произвольным образом. Положим: e₀ = 1, e₁ = (x − a) / (b − a) — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию e_n(x) так, чтобы e_n(x_i) = 0 при $i=0,1,\dots,n-1$ и e_n(x_n) = 1. Точки $x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n-1}$ разбивают [a,b] на n − 1 отрезок. Точка x_n лежит строго внутри одного из них. Пусть это I_n = [x_j,x_k] для каких-то $j, k \in \{0,\dots,n-1\}$ (порядок нумерации чисел $x_0, x_1, x_2,\dots$ не соответствует их величине).

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение L₅(x). Красным цветом на графике выделен участок, на котором L₅ отличается от L₄ (синяя ломаная).

Положим:

e_n(x) = 0 вне отрезка I_n = [x_j,x_k],

$e_n(x)=\frac{x-x_j}{x_n-x_j}$ при $x \in [x_j,x_n],$

$e_n(x)=\frac{x_k-x}{x_k-x_n}$ при $x \in [x_n,x_k].$

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции $f(x) \in C[a,b]$ по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений f(x_i). Частичная сумма первых n + 1 членов ряда

$L_n(x)= \sum_{i=0}^{n} f_i e_i(x) ,$

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией f(x) с узлами в точках $x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n}$; формула для коэффициентов $f_n =f(x_n)-L_{n-1}(x_n); \; \; f_0=f(a)$ (см. Рис.)

Проблема базиса

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

См. также

• Репер — близкое понятие для аффинного пространства.
• Ортогональный базис — специальный класс базисов (базисов Шаудера) для пространств со скалярным произведением (Гильбертово пространство).
• Базис Грёбнера

Литература

• Кутателадзе С. С., Основы функционального анализа. — 4 изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — XII+354 c.