0

0,(9)

0,(9) или 0,999… ($0.\bar{9} , 0.\dot{9}$) («ноль и девять в периоде») — периодическое десятичное число, которое в точности равно числу 1. То есть строки «0,999…» и «1» представляют одно и то же действительное число.

У этого равенства существует несколько доказательств разного уровня сложности, базирующихся как на свойствах действительных чисел, так и на дополнительных предположениях, исторических предпосылках и многом другом.

Доказательства

Алгебраические

Деление столбиком

Часто рациональная дробь может быть представлена десятичной только с бесконечным хвостом. Используя деление столбиком, деление двух целых чисел, например ¹⁄₃ приводит к бесконечному 0.333… в десятичной записи, где цифры повторяются бесконечно. Таким образом легко доказывается равенство 0.999… = 1. Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0.333… эквивалентно 0.999…. И 3 × ¹⁄₃ эквивалентно 1, поэтому 0.999… = 1.^[1]

$1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}333\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9);$

$1 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 9 \cdot 0{,}111\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9).$

Манипуляции с цифрами

$\begin{align} x &= 0{,}999\ldots; \\ 10x &= 9{,}999\ldots; \\ 10x - x &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots; \\ 9x &= 9; \\ x &= 1; \\ 0{,}999\ldots &= 1. \end{align}$

Аналитические

Число 0.999… в общем виде можно записать как $b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots$

Бесконечные последовательности

В соответствии с определением позиционной системы счисления, посчитаем сумму ряда:

$b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .$

Для 0.999… применим теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии:^[2]

Если | r | < 1 , то $ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.$

Радиус сходимости (знаменатель прогрессии) $r=\textstyle\frac{1}{10}$, и таким образом:

$0.999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\,$

Такое доказательство (в действительности что 10 эквивалентно 9.999…) было опубликовано в 1770 Леонардом Эйлером в издании Elements of Algebra.^[3]

Единичные интервалы, (.3, .33, .333, …) сходящиеся к 1.

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. Выпущенный в 1811 учебник An Introduction to Algebra также использует геометрическую прогрессию для числа 0,(9) .^[4] В 19 веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение: сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм. ^[5]

Последовательность (x₀, x₁, x₂, …) имеет предел x тогда и только тогда, когда |x − x_n| бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел:^[6]

$0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,$

Последний шаг $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0$ — делается на основании того, что действительные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.

Применение

Существует много применений, например в элементарной теории чисел. В 1802 H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении на простые числа. Например:

• ¹/₇ = 0.142857142857… и 142 + 857 = 999.
• ¹/₇₃ = 0.0136986301369863… и 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy в 1836 обобщил данные наблюдения в теорему: Midy's_theorem.

Примечания

1. ↑ cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
2. ↑ Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
3. ↑ Euler p.170
4. ↑ Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
5. ↑ For example, J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
6. ↑ The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).

См. также

• −0 и +0