- Цепи Александрова
-
Цепи Александрова
Цепи Александрова — последовательности целых положительных чисел, при помощи которых можно построить идеальный магический квадрат любого допустимого порядка n. Найдены три такие последовательности:
ЦА-1(для нечетных n, кратных 3): 1 n 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 …
ЦА-2 (для n=8k, например n=24): 1 24 14 16 18 20 22 21 19 17 15 13 23 2 12 10 8 6 4 3 5 7 9 11
ЦА-3 (для n=8k+4, например n=28): 1 28 15 19 20 24 23 26 25 21 22 18 17 13 27 2 16 12 11 7 8 4 3 6 5 9 10 14
Общие выражения для цепей Александрова приведены в работах [1], [2]
Если же нечетное n не кратно трем, то цепь Александрова имеет простой вид:
1 n n-1 n-2 … 2
Чтобы получить идеальный магический квадрат, достаточно из цепи Александрова сформировать по определенным правилам латинские квадраты i и j. Объединение последних по формуле n*(i-1)+j даст решение задачи [3].
Пример для n = 9. Цепь Александрова: 1 9 3 6 2 5 8 4 7.
Латинский квадрат i :
1 9 3 6 2 5 8 4 7 4 7 1 9 3 6 2 5 8 5 8 4 7 1 9 3 6 2 6 2 5 8 4 7 1 9 3 9 3 6 2 5 8 4 7 1 7 1 9 3 6 2 5 8 4 8 4 7 1 9 3 6 2 5 2 5 8 4 7 1 9 3 6 3 6 2 5 8 4 7 1 9 Латинский квадрат j :
1 3 2 8 7 9 6 5 4 8 7 9 6 5 4 1 3 2 6 5 4 1 3 2 8 7 9 1 3 2 8 7 9 6 5 4 8 7 9 6 5 4 1 3 2 6 5 4 1 3 2 8 7 9 1 3 2 8 7 9 6 5 4 8 7 9 6 5 4 1 3 2 6 5 4 1 3 2 8 7 9
Объединение матриц i и j дает идеальный магический квадрат 9х9 :1 75 20 53 16 45 69 32 58 35 61 9 78 23 49 10 39 65 42 68 31 55 3 74 26 52 18 46 12 38 71 34 63 6 77 22 80 25 54 15 41 67 28 57 2 60 5 76 19 48 11 44 70 36 64 30 56 8 79 27 51 14 40 17 43 72 33 59 4 73 21 47 24 50 13 37 66 29 62 7 81 Все цепи Александрова при n<30 :
1 5 4 3 2
1 7 6 5 4 3 2
1 8 6 5 7 2 4 3
1 9 3 6 2 5 8 4 7
1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 12 7 10 9 5 11 2 8 4 3 6
1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 15 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 14 10 13
1 16 10 12 14 13 11 9 15 2 8 6 4 3 5 7
1 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 20 11 16 15 18 17 13 14 9 19 2 12 7 8 4 3 6 5 10
1 21 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 20 16 19
1 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 24 14 16 18 20 22 21 19 17 15 13 23 2 12 10 8 6 4 3 5 7 9 11
1 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 27 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 26 22 25
1 28 15 19 20 24 23 26 25 21 22 18 17 13 27 2 16 12 11 7 8 4 3 6 5 9 10 14
1 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.