Теорема Стюарта

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Симсона.

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Теорема Стюарта

Формулировка

Если точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, то $AD^2 = p^2 = b^2\frac{x}{x+y}+c^2 \frac{y}{x+y} - {xy},$ где $y=CD$, и $x=BD$.

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения^[1].

Доказательство

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$

Первое уравнение домножим на $CD$, а второе на $BD$.

$\overrightarrow{AD}\cdot CD=\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{BD}\cdot CD$

$\overrightarrow{AD}\cdot BD=\overrightarrow{AC}\cdot BD+\overrightarrow{CD}\cdot BD$

Теперь сложим полученные уравнения:

$\overrightarrow{AD}\cdot BC=\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{AC}\cdot BD$

,так как

$\overrightarrow{BD}\cdot CD +\overrightarrow{CD}\cdot BD=0$.

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\frac{CD}{BC}+\overrightarrow{AC}\frac{BD}{BC}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left (\overrightarrow{AD} \right )^2=\left (\overrightarrow{AB} \right )^2\left (\frac{CD}{BC} \right )^2+\left (\overrightarrow{AC} \right )^2\left (\frac{BD}{BC} \right )^2+2 \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \cdot \frac{CD}{BC}\cdot \frac{BD}{BC}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

Аналогично:

$BC^2=AC^2-2 \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB} +AB^2$

$2 \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=AC^2+AB^2-BC^2$

$AD^2=AB^2\cdot \frac{CD^2}{BC^2}+AC^2\frac{BD^2}{BC^2}+AC^2\frac{CD\cdot BD}{BC^2}+AB^2\frac{CD\cdot BD}{BC^2}-CD\cdot BD$

$AD^2=AB^2\cdot \frac{CD}{BC}+AC^2\cdot \frac{BD}{BC}-CD\cdot BD$

ч.т.д.

История

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта (Stewart Matthew: 1717, Ротсей, Шотландия — 1785, Эдинбург) и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение

Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников.

Следствием теоремы Стюарта является теорема Птолемея, а её частным случаем — теорема Аполлония.

Примечания

1. ↑ Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 30—31. — 288 с.

Литература

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.53.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр.302-303.
• Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0