Проблема Бёрнсайда

Проблема Бёрнсайда

Проблема Бёрнсайда, сформулированная Бёрнсайдом в 1902 году — одна из самых известных и сложных проблем теории групп. Смысл её таков: обязательно ли конечно порождённая группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, должна быть конечной. Проще говоря, можно ли определить, что группа конечна, исходя лишь из свойств её отдельных элементов.

История

Первоначальные усилия были направлены в сторону положительного решения проблемы, так как все известные частные случаи давали позитивный ответ. Например, если группа порождена m элементами и порядок каждого её элемента является делителем числа 4, она конечна. Более того, в 1959 году Кострикин (в случае простой экспоненты)[1] и в 1980-х годах Зельманов (в общем случае) доказали, что среди конечных групп с данным количеством генераторов и экспонент, существует наибольшая.

Тем не менее, общий ответ на проблему Бёрнсайда оказался отрицательным. В 1964 году Голод и Шафаревич построили бесконечную группу типа Бёрнсайда, не предполагая, что каждый элемент имеет равномерно ограниченный порядок. В 1968 году Новиков и Адян предложили отрицательное решение проблемы с ограниченной экспонентой для всех нечётных экспонент больше 4381. В 1982 году Ольшанский нашёл несколько контрпримеров для достаточно больших нечётных экспонент (более 10^{10}) и предоставил более понятное доказательство, основанное на геометрических идеях.

Случай чётной экспоненты оказался более сложным. В 1992 году С. В. Иванов анонсировал отрицательное решение для достаточно больших чётных экспонент, делящихся на большие степени числа 2 (детальное доказательство было опубликовано в 1994 году и заняло около 300 страниц). Позже в совместной работе Ольшанский и Иванов дали отрицательное решение для аналога проблемы Бёрнсайда для случая гиперболических групп, при условии достаточно большой экспоненты.

Литература

  • Кострикин, А. И. Вокруг Бёрнсайда. — М.: Наука, 1986. — 232 с.
  • Ольшанский, А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. — М.: Наука, 1989. — 446 с.

Примечания

  1. ↑ Кострикин, А. И. Известия АН СССР // Серия математическая. — 1959. — т. 23. — № 1. — с. 3—34.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Проблема Бёрнсайда" в других словарях:

  • Проблема Бернсайда — Проблема Бёрнсайда сформулированная Бёрнсайдом в 1902 году  одна из самых известных и сложных проблем теории групп. Смысл её таков: обязательно ли конечно порождённая группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, должна быть конечной.… …   Википедия

  • БЁРНСАЙДА ПРОБЛЕМА — 1) Б …   Математическая энциклопедия

  • НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с доумя бинарными операциями + и ., удовлетворяющими всем аксиомам ассоциативных колец и алгебр, кроме, быть может, аксиомы ассоциативности умножения. Первые примеры неассоциативных колец (Н. к.) и неассоциативных алгебр (Н. а.), не… …   Математическая энциклопедия

  • ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа, в к рой каждая конечно порожденная подполугруппа конечна. Всякая Л. к. п. будет периодической полугруппой. Обратное неверно: существуют даже периодич. группы, не являющиеся локально конечными (см. Бёрнсайда проблема). Задолго до… …   Математическая энциклопедия

  • ПРОСТАЯ КОНЕЧНАЯ ГРУППА — конечная группа, в к рой нет нормальных подгрупп, отличных от всей группы и от единичной подгруппы. П. к. г. наименьшие строительные блоки , из к рых с помощью расширений может быть собрана любая конечная группа. Каждый фактор композиционного… …   Математическая энциклопедия

  • КОНЕЧНАЯ ГРУППА — группа с конечным числом элементов. Это число наз. порядком группы. Исторически К. г. послужили исходным материалом для формирования многих понятий абстрактной теории групп. Обычно говорят, что целью теории К. г. является описание, с точностью до …   Математическая энциклопедия

  • КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННАЯ ГРУППА — группа G, обладающая конечным порождающим множеством М= {а 1,.... ad}. Состоит из всевозможных произведений где Если Мсодержит dэлементов, то Gназ. d n орожденной. Из любого порождающего множества К. п. г. можно выбрать конечное порождающее… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ АЛГЕБРА — лиева алгебра, унитарный k модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) ( х,[ у,… …   Математическая энциклопедия

  • ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНАЯ ГРУППА — группа, в к рой каждая конечно порожденная подгруппа конечна. Любая Л. к. г. периодич. группа, но не наоборот (см. Бёрнсайда проблема). Расширение Л. к. г. с помощью Л. к. г. будет снова Л. к. г. Всякая Л. к. г. с условием минимальности для… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа, каждый элемент к рой имеет конечный порядок. Всякая периодич. абелева группа разлагается в прямую сумму примарных групп по различным простым числам. Об условиях конечности П. г. см. Бёрнсайда проблема о периодических группах. О . А.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»