Вычисление площадей и объемов

Вычисление площадей и объемов

Пусть E — измеримое множество в Rⁿ. Как известно,

μE = ∫dE.

Таким образом, с помощью n-кратного интеграла можно вычислять меру измеримых множеств в n-мерном пространстве (площадь — в двухмерном, объем — в трехмерном). Если n-кратный интеграл можно свести к повторному, то вычисление меры измеримого множества Е n-мерного пространства сведется к вычислению (n-1)-кратного интеграла.

Пусть, например, D — открытое измеримое множество в (n-1)-мерном пространстве и $R^{n-1}_{x_1,\ldots,x_{n-1}}\ x_n=f(x_1,\ldots,x_{n-1})$ — неотрицательная функция, определенная и непрерывная на замыкании $\overline{D}$, множества D, а $G= \{x=(x_1,\ldots, x_n);(x_1,\ldots, x_{n-1})\in D, 0<x_n<f(x_1,\ldots,x_{n-1})\}$ (таким образом, G является n-мерным аналогом криволинейной плоской трапеции). Тогда
$\mu G = \int dG = \int dD \int_{0}^{f(x_1,\ldots,x_{n-1})} dx_n = \int f(x1,\ldots,x_{n-1})dD$ ,
то есть
$\mu G = \overbrace{\int \cdots \int}^{n-1\ pa3}_D f(x_1,\ldots,x_{n-1})dx_1\ldots dx_{n-1}.$

Меру произвольных (необязательно измеримых по Жордану), в частности неограниченных, открытых множеств пространства $\textbf{R}^n, n>=2,$ если её понимать как нижнюю меру Жордана μ _* , можно вычислить с помощью несобственных интегралов. Действительно пусть G — произвольное открытое множество в $\textbf{R}^n$ и $G^k, k=1,2,\ldots,$ — последовательность открытых измеримых множеств, монотонно исчерпывающих множество G. Тогда, как известно, $\lim_{k\to\infty} \mu G_k = \mu_* G.$ Но, $\mu G_k = \int d G_k$, поэтому $\lim_{k\to\infty} \int d G_k.$

По определению же кратного несобственного интеграла, $\lim_{k\to\infty} \int d G_k = \int d G.$ Таким образом,

$\mu_* G = \int dG,$

где интеграл в правой части равенства понимается, вообще говоря (а именно: если G не является измеримой областью), как несобственный.

Напомним, что для вычисления объемов тел часто оказывается удобным метод сечений.