Вариация множества


Вариация множества

Вариация множества — число, характеризующее k-мерную протяженность множества в n-мерном евклидовом пространстве.

Нулевая вариация множества V_0(E) замкнутого ограниченного множества E — это число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости вариация первого порядка V_1(E) называется линейной вариацией множества и представляет собой интеграл:

V_1(E)=c\int\limits_0^{2\pi}\Phi(\alpha,\;E)\,d\alpha

от функции

\Phi(\alpha,\;E)=\int\limits_{\Pi_\alpha}V_0(E\cap\Pi_{\alpha,\;z}^\perp)\,dz,

где интегрирование ведётся по прямой \Pi_\alpha, проходящей через начало координат;

\alpha — угол наклона \Pi_\alpha к фиксированной оси; \Pi_{\alpha,\;z}^\perp — прямая, перпендикулярная к \Pi_\alpha и пересекающая её в точке z.

Нормирующая константа c выбирается так, чтобы вариация V_1(E) отрезка E совпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, например, для спрямляемых кривых, вариация множества равна длине кривой. Для замкнутой области E со спрямляемой границей \Gamma линейная вариация множества V_1(E) равна половине длины \Gamma.

Вторая вариация множества (то есть порядка 2) есть двумерная мера множества E. При k>2 V_k(E)=0.

Для n-мерного евклидова пространства вариацией V_i(E) порядка i=0,\;1,\;\ldots,\;n ограниченного замкнутого множества E называется интеграл V_k(E)=\int\limits_{\Omega_k^n}V_0(E\cap\beta)\,d\mu_\beta от нулевой вариации пересечения E с (n-k)-мерной плоскостью \beta по пространству \Omega_k^n всех (n-k)-мерных плоскостей из R_n, с мерой Хаара d\mu_\beta, нормированной так, чтобы единичный k-мерный куб J_k имел вариацию множества V_k(J_k)=1.

Вариация множества V_n(E) совпадает с n-мерной мерой Лебега множества E. Для выпуклых тел вариация множества при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского[1].

Содержание

Свойства вариации множества

  • Для E\subset R_n\subset R_{n'} вариация множества V_k(E) не зависит от того, вычисляется она для E\subset R_n или для E\subset R_{n'}.
  • Для вариаций множеств справедлива следующая формула:
\int\limits_{\Omega_k^n}V_i(E\cap\beta)\,d\mu_\beta=c(n,\;k,\;i)V_{k+i}(E),\quad k+i\leqslant n,

где c(n,\;k,\;i) — нормирующая константа.

  • Из V_i(E)=0 следует, что V_{i+1}(E)=0.
  • Для любой последовательности чисел a_0,\;a_1,\;\ldots,\;a_n, где a_0>0 — целое, 0<a_i\leqslant\infty, i=1,\;2,\;\ldots,\;n-1; a_n=0, можно построить множество E\subset R_n, для которого V_i(E)=a_i, i=0,\;l,\;2,\ldots,\;n. В этом выражается в некотором смысле независимость вариаций множества друг от друга.
  • V_i(E_1\cup E_2)=V_2(E_i)+V_i(E_2), если E_1 и E_2 не пересекаются. В общем случае
V_i(E_1\cup E_2)\leqslant V_2(E_i)+V_i(E_2).

Для i=0,\;2,\;\ldots,\;n-1 вариации множества V_i не монотонны, то есть может оказаться, что V_i(E_1)<V_i(E_2) для E_1\supset E_2.

  • Вариации множеств полунепрерывны, то есть если последовательность замкнутых ограниченных множеств E_k сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству E, то
V_0(E)\leqslant\varliminf_{k\to\infty}V_0(E_n).

Если V_0(E_k)+\ldots+V_{i-1}(E_k) равномерно ограничены суммы, то

V_i(E)\leqslant\varliminf_{k\to\infty}V_i(E_n),\quad i=1,\;2,\;\ldots,\;n.
V_0(E)+V_1(E)+\ldots+V_k(E)<\infty.

Эти условия выполняются, например, для дважды гладких многообразий.

История

Понятие «вариация множества» возникло в связи с исследованием решений системы Коши — Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. Вариация множества является полезным аппаратом при решении некоторых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных[2], а также в вопросах аппроксимации[3].

Литература

  • Витушиин А. Г. Доклады АН СССР. — 1966. — т. 166. — № 5. — с. 1022—1025.
  • Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1967. — т. 72(114). — № 3. — с. 445—470.
  • Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1969. — т. 78(120). — № 1. — с. 85—100.

Примечания

  1. Леонтович А. М., Мельников М. С. Труды Москосковского математического общества. — 1965. — т. 14. — с. 306—337
  2. Витушиин А. Г. О многомерных вариациях. — М., 1955.
  3. Витушиин А. Г. Оценка сложности задачи табулирования. — М., 1959.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Вариация множества" в других словарях:

  • ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА — число, характеризующее k мерную протяженность множества в n мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация замкнутого ограниченного множества Еесть число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости линейная вариация множества… …   Математическая энциклопедия

  • Вариация — Вариацией (от лат. variatio  изменение, перемена) вообще называется разновидность чего либо, небольшое изменение или отклонение. Существуют также более специфические значения этого термина: В музыке: Вариационная форма  музыкальная …   Википедия

  • Вариация отображения — Вариация отображения  числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом[1]. Двухмерный случай Рассмотрим определение вариации отображения для… …   Википедия

  • ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИИ — числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с ее дифференциальными свойствами. 1) Пусть функция действительного переменного х, заданная на отрезке ; ее вариация есть точная верхняя грань сумм вида где… …   Математическая энциклопедия

  • ВАРИАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Определена С. Банахом [1]. Ниже дается определение лишь для двумерного случая. Рассмотрим отображение где и непрерывные на квадрате X функции. Говорят, что… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА — аддитивная функция m, определенная на системе множеств топологич. пространства, полная вариация к рой удовлетворяет условию где внутренность множества замыкание множества F(E, G, F из области определения m). Ограниченная аддитивная Р. ф. м.,… …   Математическая энциклопедия

  • АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ — 1) А. н. интеграла свойство неопределенного интеграла (Лебега). Пусть функция f интегрируема на множестве Е. Интеграл от f на измеримых подмножествах является абсолютно непрерывной функцией (см. ниже п. 3) множества относительно меры m, т. е. для …   Математическая энциклопедия

  • МЫШЦЫ — МЫШЦЫ. I. Гистология. Общеморфодогически ткань сократительного вещества характеризуется наличием диференцировки в протоплазме ее элементов специфич. фибрилярной структуры; последние пространственно ориентированы в направлении их сокращения и… …   Большая медицинская энциклопедия

  • ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел мате .матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного рода ограничениях (фазовых, дифференциальных, интегральных И т. п.), накладываемых на эти… …   Математическая энциклопедия

  • Среднеквадратическое отклонение — (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс)  в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Вариация множества» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.