Теорема об ограниченности интегрируемой функции

Если функция интегрируема по Риману на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Замечание: условие ограниченности является необходимым условием интегрируемости функции по Риману на отрезке.

Доказательство

Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b], тогда $\exists\int\limits_a^bf(x)dx$. По определению интеграла $\forall \varepsilon>0$, то есть для $\varepsilon=1\;\exists\delta=\delta(\varepsilon);\;\forall I,\; \lambda < \delta$ и любого набора точек $\{\xi_i\}$ выполняется:

$|\sum_{i=1}^mf(\xi_i)\Delta x_i\;-\;I| < \varepsilon\;=\;1$, отсюда получаем:

$I - 1 <\sum_{i=1}^mf(\xi_i)\Delta x_i < I + 1$

Допустим, что функция не ограничена на [a, b], то есть не ограничена на некотором $\Delta x_i = \Delta x^*$. Обозначим остальную, не относящуюся к данному отрезку часть суммы за σ:

$\sum_{i=1}^mf(\xi_i)\Delta x_i\;=\;f(\xi^*)\Delta x^* + \sigma$

$I - \sigma - 1\;<\;f(\xi^*)\Delta x^*\;<\;I - \sigma + 1$

В силу неограниченности всегда можно выбрать такое ξ*, что $|f(\xi^*)\Delta x^*|\;>\;\max(I - \sigma - 1; I - \sigma + 1)$.

Получено противоречие, следовательно интегрируемая функция должна быть ограниченной.

Примечание. Для интегрируемости по Лебегу ограниченности не требуется.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.