Моменты случайной величины

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Определения

Если дана случайная величина $\displaystyle X,$ определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• $\displaystyle k$-м нача́льным моментом случайной величины $\displaystyle X,$ где $k \in \mathbb{N},$ называется величина

$\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],$

если математическое ожидание $\mathbb{E}[*]$ в правой части этого равенства определено;

• $\displaystyle k$-м центра́льным моментом случайной величины $\displaystyle X$ называется величина

$\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],$

• $\displaystyle k$-м абсолю́тным и $\displaystyle k$-м центральным абсолютным моментами случайной величины $\displaystyle X$ называется соответственно величины

$\nu_k = \mathbb{E}\left[|X|^k\right]$ и $\mu_k = \mathbb{E}\left[|X - \mathbb{E}X|^k\right],$

• $\displaystyle k$-м факториальным моментом случайной величины (Стефенсен) $\displaystyle X$ называется величина

$\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.^[1]

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых $k$, но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

Замечания

• Если определены моменты $\displaystyle k$-го порядка, то определены и все моменты низших порядков $1 \leqslant k' < k.$
• В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:

$\displaystyle \mu_1 = 0,$

$\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,$

$\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,$

$\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4,$ и т. д.

Геометрический смысл некоторых моментов

• $\displaystyle \nu_1$ равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
• $\displaystyle \mu_2$ равняется дисперсии распределения $\displaystyle (\mu_2=\sigma^2)$ и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
• $\displaystyle \mu_3$, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

$\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

называется коэффициентом асимметрии.

• $\displaystyle \mu_4$ контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина

$\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3$

называется коэффициентом эксцесса распределения $\displaystyle X.$

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью $\displaystyle f(x),$ имеем:

$\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,$

если $\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,$

а для дискретного распределения с функцией вероятности $\displaystyle p(x):$

$\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),$

если $\nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.$

• Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию $\displaystyle \phi(t)$:

$\nu_k = \left.(-i)^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.$

• Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов $\displaystyle M(t),$ то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

$\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.$

Обобщения

Можно также рассматривать нецелые значения $k$. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента $k$, называется преобразованием Меллина.

Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.

Примечания

1. ↑ Г. Крамер. Математические методы статистики. — 2-е изд. — М.: Мир, 1975. — С. 196-197, 284. — 648 с.

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами