Производная Фреше

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Определение

Пусть $F\colon X\rightarrow Y$ — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства $X$ в вещественное банахово пространство $Y$.

Производной Фреше оператора $F$ в точке $x\in X$ называется линейный оператор $A\colon X\rightarrow Y$, такой, что для любого $h\in X$ выполняется следующее равенство:

$F(x+h)-F(x)=Ah+r_0(x,\;h),$

причем для остаточного члена $r_0(x,\;h)$ верно соотношение:

$\frac{\|r_0(x,\;h)\|_Y}{\|h\|_X}\rightarrow 0$ при $\|h\|_X\rightarrow 0.$

Если производная Фреше существует, то оператор $F$ называется сильно дифференцируемым. Линейная часть приращения $Ah$ в таком случае именуется дифференциалом Фреше функции $F$.

Можно показать, что производная Фреше, в том случае, когда она существует, совпадает с производной Гато.

См. также

• Производная (обобщения)
• Производная Гато

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.