- Вынужденные колебания
-
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:
.
Содержание
Вынужденные колебания гармонического осциллятора
Консервативный гармонический осциллятор
Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде:
. Если ввести обозначения:
и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:
-
,
где
— произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.
Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида:
и получим значение для константы:
Тогда окончательное решение запишется в виде:
Резонанс
Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде:
. Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :
Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:
Затухающий гармонический осциллятор
Второй закон Ньютона:
-
.
Переобозначения:
Дифференциальное уравнение:
Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.
Запишем вынуждающую силу следующим образом:
, тогда решение будем искать в виде:
. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для A:
где
Полное решение имеет вид:
,
где
— собственная частота затухающих колебаний.
Константы
и
в каждом из случаев определяются из начальных условий:
В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.
Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при
, то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:
Это означает, что при
система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.
Работа, совершаемая вынуждающей силой
за время
, равна
, а мощность
. Из уравнения
следует, что
Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях
то тогда средняя за период
мощность:
Работа за период
Литература
- Бутиков Е.И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие. Архивировано из первоисточника 11 марта 2012.
- Рабинович М.И. Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
- Добавить иллюстрации.
Категория:- Теория колебаний
-
Wikimedia Foundation. 2010.