Критерий согласия Колмогорова


Критерий согласия Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова или Критерий согласия Колмогорова-Смирнова — статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Носит имена математиков Андрея Николаевича Колмогорова и Николая Васильевича Смирнова.

Критерий Колмогорова-Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических критериев, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.

Содержание

Статистика

Эмпирическая функция распределения (ЭФР) F_n\! случайной величины \xi\!, построенная по выборке X=\left(X_1,\;\ldots,\;X_n\right) (X_i\in\mathbb{X}), имеет вид:

F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I_{X_i\leqslant x},\!

где I_{X_i\leqslant x}\! указывает, попало ли наблюдение X_i в область (-\infty,\;x]\!:

I_{X_i\leqslant x}=\begin{cases}1, & X_i\leqslant x; \\ 0, & X_i>x.\end{cases}\!

Статистика критерия для эмпирической функции распределения F_n(x)\! определяется следующим образом:

D_n=\sup_x |F_n(x)-F(x)|,\!

где \sup S\! — точная верхняя грань множества S={|F_n(x)-F(x)|}\!, F - предполагаемая модель.

Критерий

Обозначим нулевую гипотезу H_0\!, как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению F(X)\in C^1(\mathbb{X})\!. Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

\forall t>0\colon\lim_{n\to\infty}P(\sqrt{n}D_n\leqslant t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j e^{-2j^2t^2}.\!

Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.

Logo arte.jpg Правило (параметрический критерий Колмогорова).
Если статистика \sqrt{n}D_n\! превышает процентную точку распределения Колмогорова K_\alpha\! заданного уровня значимости \alpha\!, то нулевая гипотеза H_0\! (о соответствии закону F(x)\!) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне \alpha\!.

Если \alpha достаточно близко к 1, то K_\alpha\! можно приблизительно рассчитать по формуле:

K_\alpha\approx\sqrt{-\frac{1}{2}\ln\frac{1-\alpha}{2}}.\!

Асимптотическая мощность критерия равна 1.


Обозначим теперь за нулевую гипотезу H_0\! гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины \xi\colon F(X)\in C^1(\mathbb{X})\!.

Logo arte.jpg Теорема Смирнова.
Пусть F_{1,\;n}(x),\;F_{2,\;m}(x)\! — эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмом n и m случайной величины \xi. Тогда, если F(x)\in C^1(\mathbb{X}), то \forall t>0\colon\lim_{n,\;m\to\infty}P\left(\sqrt{\frac{nm}{n+m}}D_{n,\;m}\leqslant t\right)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j e^{-2j^2t^2}, где D_{n,\;m}=\sup_x|F_{1,\;n}-F_{2,\;m}|.

Теорема Смирнова позволяет использовать данный критерий для проверки двух выборок на однородность.

Logo arte.jpg Правило (непараметрический критерий Колмогорова).
Если статистика \sqrt{\frac{nm}{n+m}}D_{n,\;m}\! превышает квантиль распределения Колмогорова K_{\alpha}\! для заданного уровня значимости \alpha\!, то нулевая гипотеза H_0\! (об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне \alpha\!.

См. также

Ссылки

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Критерий согласия Колмогорова" в других словарях:

  • Критерий согласия Пирсона — Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи квадрат)  наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая… …   Википедия

  • критерий согласия — Критерии согласия проверяют гипотезу о совпадении наблюденной эмпирической функции распределения с теоретической, постулируемой, функцией распределения. Примеры. 1. Критерий согласия хи квадрат делает это путем сравнения наблюденных и ожидаемых… …   Словарь социологической статистики

  • Критерий Пирсона — Критерий Пирсона, или критерий χ2 наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической …   Википедия

  • Критерий Вальда — (максиминный критерий[1])  один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма. История Критерий Вальда был предложен Абрахамом Вальдом в 1955 году для выборок равного объема, а затем распространен на …   Википедия

  • Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… …   Википедия

  • Критерий Кохрена — Критерий Кохрена  используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма . Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости , если: где   квантиль случайной величины при числе суммируемых… …   Википедия

  • Критерий Колмогорова — В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли… …   Википедия

  • Критерий Уилкоксона — Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Т Крит …   Википедия

  • СОГЛАСИЯ КРИТЕРИЙ — статистический критерий, применяемый в задаче проверки согласия, суть к рой заключается в следующем. Пусть X1, X2,. . ., Х п независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, функция распределения к рого F(х)… …   Математическая энциклопедия

  • Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда… …   Википедия