- Ультраметрика
-
В ультраметрическом пространстве у треугольника не бывает самой длинной стороны: либо равны все три, либо одна короче, а остальные две — равны
Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:
Такую метрику называют ультраметрикой. Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие.
Определение
Ультраметрическое пространство — это пара (M,d), где M — множество, а
— вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой, удовлетворяющая следующим условиям:
(неотрицательность)
- d(x,y) = d(y,x) (симметричность)
(усиленное неравенство треугольника)
Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.
Свойства
- Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
- Всякая точка шара является его центром.
- Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
- Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной.
Примеры
- Рассмотрим множество слов произвольной длины некоторого алфавита Σ. Положим d(a,b) = 2 − n, где n — номер первого символа, различного в словах a и b. Полученная функция будет ультраметрикой.
- Ультраметрика обычно связана со структурой направленного дерева.
- p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
- Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0 если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
- Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации, при исследовании последовательностей символов, и физике твёрдого тела, при изучении спиновых стёкол.
Wikimedia Foundation. 2010.