Теорема Фату

Теорема Фату

Предположим, что у нас есть функция f, аналитическая в единичном круге \Delta=\{z:|z|<1\}. В определенных случаях очень нужно установить условия, при которых она может быть аналитически продолжена на единичную окружность \partial\Delta.

Для этого применяется следующий метод — изучение поведения функции на окружностях вида {\partial\Delta}_r=\{z:|z|=r<1\}. Для этого введем вспомогательную функцию f_r(e^{i\varphi})=f(re^{i\varphi}). Видно, что поведение функции f на \partial\Delta зависит от поведения семейства функций \{f_r\} при r\to 1. Пользуясь терминологией функционального анализа, теперь можно сформулировать собственно теорему:

Теорема

Пусть f аналитична в \Delta и для неё конечна норма Харди:

\lVert f\rVert_{H^p}=\sup_{0<r<1}\lVert f_r\rVert_{L^p(\partial\Delta)}<\infty

Тогда будет иметь место поточечная сходимость почти всюду семейства функций \{f_r\} к некоторой функции f_1\in L^p(\partial\Delta).


Wiki letter w.svg
 Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
  • Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Фату" в других словарях:

  • Фату, Пьер — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Фату. Пьер Жозе Луи Фату Pierre Joseph Louis Fatou …   Википедия

  • ФАТУ ДУГА — для функции f(z), мероморфной в области Gплоскости комплексного переменного z, достижимая дуга границы области G, обладающая тем свойством, что она входит в состав границы нек рой жордановой области в к рой f(z), ограничена. Иногда это… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Лебега о мажорируемой сходимости — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лебега. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах  это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду… …   Википедия

  • Теорема Салливана об отсутствии блуждающих компонент — множества Фату  доказанная Д. Салливаном в 1985 году теорема голоморфной динамики, утверждающая, что всякая компонента связности множества Фату предпериодична. Формулировка Теорема. Пусть   рациональное отображение сферы Римана в себя… …   Википедия

  • Теорема Леви о монотонной сходимости — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Леви. Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо Леви)  это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории… …   Википедия

  • ФАТУ ТЕОРЕМА — в теории функций комплексного переменного: 1) Пусть гармонич. функция , представит в единичном круге интегралом Пуассона Стилтьеса где борелевская мера, сосредоточенная на единичной окружности , Тогда почти всюду по мере Лебега на Тфункция… …   Математическая энциклопедия

  • ФАТУ ТЕОРЕМА — о переходе к пределу под знаком интеграла Лебега: если последовательность измеримых и неотрицательных функций f1(x), f2(x), ... почти всюду на множестве Есходятсякфункции f(x), то Доказана впервые П. Фату [1]. Часто в ее формулировке заменяют на… …   Математическая энциклопедия

  • Классификация компонент множества Фату — Теорема о классификации периодических компонент множества Фату в голоморфной динамике утверждает, что всякая периодическая компонента множества Фату принадлежит к одному из следующих четырёх типов: компонента связности бассейна притяжения… …   Википедия

  • ПЛЕСНЕРА ТЕОРЕМА — один из основных результатов в теории граничных свойств аналитических функций. Пусть f(z) мероморфная функция в единичном круге открытый угол с вершиной на окружности , образованный двумя хордами круга D, проходящими через . Точка наз. точкой… …   Математическая энциклопедия

  • Лемма Фату — Лемма Фату  техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»