Интерполяционные формулы

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции $\ y=f(x)$ при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен $\ P_n(x)$ степени $\ n$, значения которого в заданных точках $x_0, \ x_1, \ \ldots, \ x_n$ совпадают со значениями $y_0, \ y_1, \ \ldots, \ y_n$ функции $\ f$ в этих точках. Многочлен $\ P_n(x)$ определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Основная статья: Интерполяционный многочлен Лагранжа

Функция $f(x)=f_0+f_1 x+f_2 x^2+\ldots$ может быть интерполирована на отрезке $[x_0, x_n]$ интерполяционным многочленом $P_n(x)$, записанным в форме Лагранжа:

$f(x) \approx P_n(x) = \sum_{k=0}^n y_k \frac {(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1}) \ldots (x-x_n)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1) \ldots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \ldots (x_k-x_n)},$

при этом ошибка интерполирования функции $\ f(x)$ многочленом $\ P_n(x)$:

$|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x)\|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_n).$

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

$\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n(x)\|=\max_{x \in [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.$

Интерполяционная формула Ньютона

Основная статья: Интерполяционные формулы Ньютона

Если точки $x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_n$ расположены на равных расстояниях $\ (x_k = x_0 + kh)$, многочлен $\ P_n(x)$ можно записать так:

$P_n(x_0 + th) = y_0 + \frac{t}{1!} \Delta y_0 + \frac{t(t-1)}{2!} \Delta^2 y_0 + \ldots + \frac{t(t-1) \cdots (t-n+1)}{n!} \Delta^n y_0$

(здесь $\ x_0 + th = x$, а $\ \Delta^k$ — разности k-го порядка: $\ \Delta^k y_i = \Delta^{k-1} y_{i+1} - \Delta^{k-1} y_i$). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения $\ y$, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от $\ x_0$. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений $\ x$, близких к $\ x_0$. При интерполировании функций для значений $\ x$, близких к $\ x_k$, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой $k$-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:

$P_n(x)=\sum_{m=0}^{n}\left( C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^k\,C_m^k\,f_{m-k}\right)$

где $C_x^m$ — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Интерполяционная формула Стирлинга

---

$f(x_0 + th) = y_0 \ + \ \frac{t}{1!} \mu \delta y_0 \ + \ \frac{t^2}{2!} \delta^2 y_0 \ + \ \frac{t(t^2- 1^2)}{3!} \mu \delta^3 y_0 \ + \ \frac{t^2(t^2-1^2)}{4!} \delta^4 y_0 \ + \$

$\ + \ \frac{t(t^2-1^2)(t^2-2^2)}{5!} \mu \delta^5 y_0 \ + \ \cdots \ + \ \frac{t^2(t^2-1^2)(t^2-2^2) \cdots [t^2-(k-1)^2]}{(2k)!} \delta^{2k} y_0$

(о значении символа $\ \mu$ и связи центральных разностей $\ \delta^m$ с разностями $\ \Delta^ m$ см. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений $\ x$, близких к одному из средних узлов $\ a$; в этом случае естественно взять нечётное число узлов $x_{-k},\ \ldots,\ x_{-1},\ x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_k$, считая $\ a$ центральным узлом $\ x_0$.

Интерполяционная формула Бесселя

---

$f(x_0 + th) \approx \mu y_{1/2} \ + \ \frac {(t-1/2)}{1!}\delta y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)}{2!}\mu \delta^2y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)(t-1/2)}{3!}\delta^3 y_{1/2} \ + \$

$\ + \ \frac {t(t-1)(t + 1)(t-2)}{4!} \mu\delta^4 y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)(t + 1)(t-2)(t-1/2)}{5!} \delta^5 y_{1/2} \ + \ \cdots \ \ + \$

$\ + \ \frac {t(t- 1)(t + 1) \cdots (t-k)(t + k-1)(t-1/2)}{(2k + 1)!}\delta^{2k + 1} y_{1/2}$

применяется при интерполировании функций для значений $\ x$, близких середине $\ a$ между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов $x_{-k},\ \ldots,\ x_{-1},\ x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_k,\ x_{k+1}$, и располагать их симметрично относительно $a (x_0\ < a\ <\ x_1).$

См. также

• Интерполяция

Ссылки

• Большая советская энциклопедия

Литература

• Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;