Теорема Фишера для нормальных выборок

Теоре́ма Фи́шера для норма́льных вы́борок в математической статистике — это утверждение, характеризующее распределение выборочной дисперсии.

Формулировка

Пусть $X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ — независимая выборка из нормального распределения. Пусть $\bar{X}$ — выборочное среднее, а $S^2$ — несмещённая выборочная дисперсия. Тогда

• $\sqrt{n} \cdot \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma} \sim \mathrm{N}(0,1)$
• Случайные величины $\bar{X}$ и $S^2$ независимы;
• Случайная величина

$\frac{(n-1) \cdot S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$

имеет распределение хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы.

См. также

• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.