Факторион

Факторион — такое натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

Полный список факторионов

• $1=1!$
• $2=2!$
• $145=1!+4!+5!$
• $40585=4!+0!+5!+8!+5!$

Верхняя граница

Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.

Любое n-значное число не меньше $\;10^{n-1}$. Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше $9!\cdot n$, где $\;9!=362880$. Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально, а второе — линейно), а уже $10^{8-1}=10000000>9!\cdot 8=2903040$. Следовательно все факторионы состоят из не более, чем 7 цифр. Даже точнее — они меньше $7\cdot 9!=2540160$.

Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).

Обобщения

В других системах счисления

Таблица факторионов в системах счисления вплоть до шестнадцатеричной:

Основание	Максимальное кол-во цифр	Факторионы
2	2	1, 10
3	2	1, 2
4	3	1, 2, 13
5	3	1, 2, 144
6	4	1, 2, 41, 42
7	5	1, 2
8	5	1, 2
9	6	1, 2, 62558
10	7	1, 2, 145, 40585
11	8	1, 2, 24, 44, 28453
12	8	1, 2
13	9	1, 2, 83790C5B
14	10	1, 2, 8B0DD409C
15	11	1, 2, 661, 662
16	11	1, 2, 260F3B66BF9

k-факторионы

k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.

Полные списки k-факторионов:

1. k=2: 817926
2. k=3: 138267, 1103790
3. k=4: 12, 32, 104, 23076
4. k=5: 10

Обобщения Пиковера

В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover (1995) предложил следующие обобщения:

1. Факторион первого рода — равен произведению факториалов своих цифр.
2. Факторион второго рода — при сложении факториалов можно разбивать не только на цифры, но и на подчисла.

Оба определения порождают гораздо бо́льшие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы первого рода в десятичной системе только вырожденные — 1 и 2, найдено несколько факторионов второго рода (жирным выделены единственные группировки цифр):

• 2 432 902 008 177 819 519
• 51 090 942 171 710 544 079 и 51 090 942 171 710 982 398
• 403 291 461 126 605 635 584 809 043 и 403 291 461 126 605 635 584 814 796

Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.

Литература

• Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
• Madachy, J. S. Madachy’s Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
• Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169—171 and 319—320, 1995.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Факторион (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A014080 в OEIS