Радикальная ось двух окружностей

Радикальная ось двух пересекающихся окружностей

Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).

Свойства радикальной оси

• Радикальная ось является прямой. Поскольку степень точки относительно окружности равна $x^2 + y^2 + Ax + By + C$, где коэффициенты A, B и C определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получим $x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 \Leftrightarrow (A_1-A_2)x + (B_1-B_2)y + (C_1-C_2) = 0$, а это уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.
• Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.
• Если P — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки P к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.

Расширяющиеся окружности точек степени d относительно каждой из двух начальных окружностей и точки, принадлежащие радикальной оси (жёлтые).

• Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, содержащая их общую хорду, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).

Построение радикальной оси двух окружностей

• Если прямые, содержащие хорды $AB$ и $CD$ первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник $ABCD$ вписанный. Это несложно доказать: пусть $P$ — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна $PA \cdot PB$, а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и $PC \cdot PD$. Так как $PA \cdot PB = PC \cdot PD$, то точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что $AB$ — общая хорда первой и третьей, а $CD$ — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные по двум точкам, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.

Радикальный центр трёх окружностей

• Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть $\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3$ — окружности, а $P$ — точка пересечения радикальной оси окружностей $\Omega_1$ и $\Omega_2$ с радикальной осью окружностей $\Omega_2$ и $\Omega_3$. Если $\mathfrak P(\omega,A)$ — степень точки $A$ относительно окружности $\omega$, то по определению радикальной оси $\mathfrak P(\Omega_1,P) = \mathfrak P(\Omega_2,P) = \mathfrak P(\Omega_3,P)$, и точка $P$ лежит на радикальной оси окружностей $\Omega_1$ и $\Omega_3$
• Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть).
• Антигомологические хорды двух окружностей пересекаются на их радикальной оси.
• Пусть $ABCD$ — четырёхугольник, прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, $BC$ и $AD$ — в $F$. Тогда окружности, построенные на отрезках $AC$, $BD$ и $EF$, как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников $ABE$, $CDE$, $BCF$ и $ADF$ (прямая Обера — Штейнера).

Следствия из свойств радикальной оси

• На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с его сторонами, эти вневписанные окружности высекают равные отрезки.
• Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона для окружности).
• Радикальные оси и центры используются в решениях задач олимпиадной математики.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Радикальная ось двух окружностей

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить для статьи более точные категории.