Число Каталана

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся в многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.

Первые несколько чисел Каталана:

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452 … (последовательность A000108 в OEIS)

Определения

n-е число Каталана $\,\! C_n$ можно определить одним из следующих способов:

Разбиения шестиугольника (C₄=14)

• Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.

• Количество правильных скобочных структур длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых каждой открывающей скобке соответствует закрывающая.

Более точно: в правильной скобочной последовательности количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом префиксе последовательности открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.

Например, для n=3 существует 5 таких последовательностей:

((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

то есть C₃ = 5.

• Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.

• Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем с n+1 листом.

Свойства

• Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:

$C_0 = 1\,\!$ и $\qquad C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i C_{n-1-i}$ для $n\ge 1.\,\!$

Это соотношение легко получить, заметив, что любая непустая правильная скобочная структура однозначно представима в форме w=(w₁)w₂, где w₁, w₂ — правильные скобочные структуры.

• Производящая функция для чисел Каталана:

$\sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n = \frac{1-\sqrt{1-4 z}}{2 z}$

• Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:

$C_n = \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} = {2 n \choose n} - {2 n \choose n-1}.$

• Асимптотически $C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$

Ссылки

• С. К. Ландо Лекции по комбинаторике, МЦНМО, 1994.
• А. Шень. Программирование: теоремы и задачи, M: МЦНМО, 2004. (разделы 2.6 и 2.7)