Чебышёвский альтернанс

Чебышёвский альтернанс — свойство разности между некоторой непрерывной функцией и многочленом, который приближает данную функцию. Открыт русским математиком Чебышёвым.

Теорема Чебышёва об альтернансе

Чтобы многочлен $Q_n(x)$ был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции $f(x)$, необходимо и достаточно существования на $[a,b]$ по крайней мере $n+2$ точек $x_0<...<x_{n+1}$ таких, что

$f(x_i)- Q_n(x_i)= \alpha (-1)^i ||f-Q_n||$,

где $i=0,...,n+1, \alpha=\pm1$ одновременно для всех $i$

Точки $x_0<...<x_{n+1}$, удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.

Пример приближения функции

Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени на интервале (1, 64). Так как функция квадратного корня выпуклая, существует одна точка экстремума функции. Из условия теоремы, нам необходимо $n+2$ (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому таковыми точками являются точка экстремума и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим $a=1, b=64$. $d$ — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:

$\sqrt1-(\alpha_0+\alpha_1\times 1)=\alpha L$

$\sqrt d-(\alpha_0+\alpha_1\times d)=-\alpha L$

$\sqrt{64}-(\alpha_0+\alpha_1\times 64)=\alpha L$

Здесь $\alpha L$ — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что

$\alpha_1=\frac{1}{9}$

Так как $d$ — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение $d$ можно из следующего уравнения:

$(\sqrt x)'(d) - \alpha_1 =0$

Отсюда $d=20\frac{1}{4}$

Теперь можно вычислить $\alpha_0$

$\alpha_0=\frac{113}{72}$

Следовательно, наилучшее линейное приближение функции $\sqrt x$ на интервале от 1 до 64:

$\frac{1}{9}x + \frac{113}{72}$.

Литература

• Численные методы — Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. Н. Кобельков
• Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы — М. В. Ульянов

Ссылки

• Лекции А. М. Мацокина

См. также

• Многочлены Чебышёва