Формула суммирования Абеля

Формула суммирования Абеля, введенная норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

Формула

Пусть $a_n \,$ — последовательность дествительных или комплексных чисел и $f (x)$ — непрерывно дифференцируемая на луче $[1, x)$ функция. Тогда

$\sum_{1\le n \le x} a_n f(n) = A(x)f(x) - \int_1^x A(u)f'(u) \, \mathrm{d}u \,$

где

$A(x):= \sum_{0 < n \le x} a_n \,.$

Для доказательства достаточно представим обе части равенства как функции от $x$. Во-первых, заметим, что при $x=1$ равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых $x$ обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом $x$ левая часть имеет скачок $a_x f(x)$, такой же скачок имеет функция $A(x) f(x)$, а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех $x\ge 1$.

Если частичные суммы ряда $a_n$ ограничены, а $\lim\limits_{x\to\infty}f (x)=0$, то предельным переходом можно получить следующее равенство

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n f(n) = - \int\limits_1^{+\infty} A(u)f'(u) \, \mathrm{d}u \,$

В общем случае,

$\sum_{x< n\le y} a_n f(n) = A(y) f(y) - A(x) f(x) -\int_x^y A(u)f'(u)\,\mathrm{d}u \,.$

Примеры

Постоянная Эйлера-Маскерони

Для $a_n = 1 \,$ и $f(x) = \frac{1}{x} \,,$ легко видеть, что $A (x) = \lfloor x \rfloor \,$ тогда

$\sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} +Ln(x)-\int_1^x \frac{\{u \}}{u^2}\mathrm{d}u$

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для Постоянной Эйлера-Маскерони:

• $\gamma = 1-\int\limits_{1}^\infty\frac{\{u\}}{u^2}\,dx$, где $\left\{t\right\}$ — дробная часть числа $t$.

Представление Дзета-функции Римана

Для $a_n = 1 \,$ и $f (x) = \frac{1}{x^s} \,,$ аналогично $A (x) = \lfloor x \rfloor \,$ тогда

$\sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u =s(\int_1^\infty \frac{u}{u^{1+s}} \mathrm{d}u-\int_1^\infty \frac{\{ u\}}{u^{1+s}} \mathrm{d}u)=1+\frac1{s-1}-c\int_1^\infty \frac{\{ u\}}{u^{1+s}} \mathrm{d}u\,.$

Эту формулу можно использовать для определения Дзета-функции в области $\Re(s) > 0 \,$ поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что $\zeta(s) \,$ имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.