Уравнение Джонсона

Иллюстрация фазового перехода при росте зародышей, которые возникают случайным образом в рассматриваемом объёме.

Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова (англ. Johnson — Mehl — Avrami — Kolmogorov equation, JMAK) описывает процесс фазового перехода при постоянной температуре. Изначально оно было получено для случая кристаллизации расплавов в 1937 году А. Н. Колмогоровым^[1], и независимым образом в 1939 году Р. Ф. Мелом (англ.)русск. и У. Джонсоном^[2], а также было популяризировано в серии статей М. Аврами в 1939—1941 годах. Однако, формула может быть обобщена на случаи других фазовых переходов.

Основные постулаты

• Неограниченность объёма системы в которой происходит фазовый переход. Физически это значит, что объём системы много больше объёма образующихся зародышей новой фазы.
• Пуассоновский закон зарождения центров: центры новой фазы возникают в среде случайно и равномерно с некоторой интенсивностью $I(t)\,\!$ на единицу объёма несконденсировавшейся среды в единицу времени, зависящей в общем случае от времени.
• Принцип геометрического подобия: каждый зародыш независимо от места и даты «рождения» растёт в виде кристаллита определенной, единой для всех зародышей выпуклой формы и ориентации, сохраняющихся во времени.
• Единство скорости роста: в каждый момент времени скорости роста одинаковы для всех имеющихся в этот момент зародышей. В силу этой посылки $\dot{R}\,\!$ не зависит от выбранного зародыша и является функцией только текущего времени $t\,\!$, то есть $\dot{R} = v(t)\,\!$.

Формула Колмогорова

Обозначим $q(t)\,\!$ долю в момент $t\,\!$ несконденсировавшегося объёма по отношению к общему объёму $V_{0}\,\!$. Тогда формула Колмогорова имеет вид

$q(t) = exp[-\int_{0}^{t}I(t')V(R(t',t))dt']\,$

где $V(R(t',t))\,\!$ объём изолированного зародыша зародившегося в момент времени $t'\,\!$ и в момент времени $t\,\!$ имеющего радиус $R\,\!$. Зная $q(t)\,\!$ легко вычислить долю сконденсировшегося объёма $Q(t)\,\!$

$Q(t) = 1 - q(t)\,$

Ограничения

Формула неприменима, например, для случая диффузионного роста зародышей (см. Спинодальный распад). В этом случае она даёт только оценку снизу для $q(t)\,\!$.

Примечания

1. ↑ А. Н. Колмогоров, К статистической теории кристаллизации металлов, Изв. АН СССР Сер. матем., 1(3), 1937, С. 355—359
2. ↑ W. A. Johnson, R. F. Mehl (англ.)русск., Reaction kinetics in processes of nucleation and growth, Trans. AIME, 135, 1939, p. 416