Сублинейная функция

Сублинейной функцией в математике называется функция $f: V \rightarrow \R$ над действительным векторным пространством $V$ (более общо вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:

$f(\gamma x ) = \gamma f\left( x\right)$  для всех $\gamma\in \mathbb{R}_+$ и всех x ∈ V (положительная однородность),

$f(x + y) \leqslant f(x) + f(y)$  для всех x, y ∈ V (субаддитивность).

Эквивалентные определения

Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:

$f(\gamma x + (1 - \gamma) y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)$  для всех x, y ∈ V і $0 \leqslant \gamma \leqslant 1$.

Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:

$f(x + y) = 2 f \left( \frac {x + y}{2} \right) \leqslant 2 \left ( f \left( \frac {x + y}{2} \right) + f \left( \frac {x + y}{2} \right) \right) = f(x) + f(y).$

Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.

Другое альтернативное определение: функция $f: V \rightarrow \R$ является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$f(\gamma x + \delta y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)$  для всех x, y ∈ V и всех $0 < \gamma, \delta$.

Примеры

• Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция $p(x) = |f(x)|$, если $f(x)$ — линейная.
• Длина вектора в $n$-мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в $\R^n.$
• Пусть M — пространство ограниченных последовательностей $x = (x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots).$

Функционал:

$f(x) = \sup_i |x_i|$

является сублинейным.

Свойства

• $f(0) = 0.$. Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности.
• Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если $f(x) \leqslant 0, \, \forall x \in V$, тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:

$0 = f(x + (-x)) \leqslant f(x) + f(-x), \, \forall x \in V$

согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.

• Для любого $\gamma$ выполняется неравенство:

$f(\gamma x ) \geqslant \gamma f\left( x\right)$

При $\gamma > 0$ это следует из определения положительной однородности, при $\gamma = 0$ — из первого свойства, если же $\gamma < 0$, то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:

$0 \leqslant f(\gamma x) + f(|\gamma| x) = f(\gamma x) + |\gamma| f( x)$

или:

$f(\gamma x) \geqslant - |\gamma| f( x) = \gamma f( x).$

См. также

• Теорема Хана — Банаха

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.