Равенство смешанных производных

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных

Теорема

Определение смешанной производной

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция $f$ многих переменных:

$(1) \qquad f = f(x_1, x_2, \dots x_n)$

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов $x_i$, считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

$(2) \qquad \phi(x_i) = {\partial f \over \partial x_i} \bigg|_{x_1,\dots x_{i-1}, x_{i+1}, \dots x_n = const}$

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов, как от параметров. То есть численное значение $\phi$ в общем случае зависит от тех же переменных $x_1, x_2, \dots x_n$, что и оригинальная функция $f$:

$(3) \qquad \phi = \phi(x_1, x_2, \dots x_n)$

Если функция $\phi$ окажется достаточно гладкой, то мы можем и ее продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому, или по другому аргументу $x_j$:

$(4) \qquad {\partial \phi \over \partial x_j} = {\partial^2 f \over \partial x_j \partial x_i}$

Если $j \ne i$, то выражение в правой части равенства (4) называется смешанной производной.

Основа теоремы

Для достаточно гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

$(5) \qquad {\partial^2 f \over \partial x_i \partial x_j} = {\partial^2 f \over \partial x_j \partial x_i}$

Теорема является базовой в теории функций многих переменных и широко применяется в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии.

Необходимая степень гладкости

Уточнять необходимую степень гладкости следует поэтапно.

• 1. Справедливость для аналитической функции (теорема).
• 2. Справедливость для более широкого класса функций, имеющих в окрестности точки только такие непрерывные производные:

$(6) \qquad {\partial f \over \partial x_i}, \; {\partial f \over \partial x_j}, \; {\partial^2 f \over \partial x_i \partial x_j}, {\partial^2 f \over \partial x_j \partial x_i}$

• 3. Поскольку для фиксированных индексов $i,j$ все производные из перечня (6) берутся при условии, что любой третий аргумент $x_k$ является константой, то функция $f$ (а также все производные (6)) может быть разрывной в отношении третьих аргументов. Например, составим функцию из двух слагаемых:

$f(x_1, x_2, \dots x_n) = \Phi(x_i, x_j) + Z(\dots x_{i-1}, x_{i+1}, \dots x_{j-1}, x_{j+1}, \dots)$

где первое слагаемое является гладкой функцией двух аргументов, а второе слагаемое разрывной во всех точках.

Дальнейшее уточнение гладкости функции нужно делать в ходе доказательства теоремы, оно будет сформулировано в самом конце.

Доказательство теоремы

Как указано выше, для доказательства теоремы можно не рассматривать зависимость функции от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения $x_i, x_j$ на $x, y$, то есть будем рассматривать такую ​​функцию двух переменных:

$(7) \qquad f = f(x, y)$

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу функции:

$(8) \qquad f_x(x, y) = {\partial f(x, y) \over \partial x}, \; f_y(x, y) = {\partial f(x, y) \over \partial y}$

$(8a) \qquad f_{xy} = {\partial^2 f \over \partial x \partial y}, \; f_{yx} = {\partial^2 f \over \partial y \partial x}$

Пусть в точке $(x, y)$ существует смешанная производная:

$(9) \qquad f_{xy}(x, y) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {f_y(x + \Delta x, y) - f_y(x, y) \over \Delta x}$

Предположим, что смешанная производная $f_{xy}$ существует в точке $(x, y)$, а также существует первая производная $f_y(x, y)$ вдоль (горизонтальной) прямой $y = const$

Далее, разница производных равна производной от разницы, поэтому превращаем формулу (9) в:

$(10) \qquad f_{xy}(x, y) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} {\partial \over \partial y} \left [ f(x + \Delta x, y) - f(x, y) \right ]$

Это преобразование никаких дополнительных условий не накладывает, поскольку разница дифференцируемых функций всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разницу в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определенного интеграла от производной:

$(11) \qquad f_{xy} (x, y) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} {\partial \over \partial y} \int_x^{x+\Delta x} f_x(\xi, y) d \xi$

Нужно, чтобы существовала частная производная $f_x$ вдоль прямой $y = const$

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:

$(12) \qquad f_{xy}(x, y) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} \lim_{\Delta y \rightarrow 0} {1 \over \Delta y} \left ( \int_x^{x + \Delta x} f_x(\xi, y + \Delta y) d \xi - \int_x^{x + \Delta x} f_x(\xi, y) d \xi \right )$

Как видно, надо, чтобы частная производная $f_x$ существовала не только на прямой $y = const$, но в некоторой двухмерной окрестности точки $(x, y)$.

Далее, разница интегралов равна интегралу от разности, причем под знак интеграла можно внести постоянный множитель ${1 \over \Delta y}$

$(13) \qquad f_{xy} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \int_x^{x+\Delta x} {f_x(\xi, y + \Delta y) - f_x(\xi, y) \over \Delta y} d \xi$

Это преобразование также не накладывает дополнительных условий, поскольку разница интегрируемых функций является функцией интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:

$(14) \qquad {f_x(\xi, y + \Delta y) - f_x(\xi, y) \over \Delta y} = f_{yx}(\xi, \eta)$

Средняя точка является функцией:

$(14a) \qquad \eta = \eta(\xi, \Delta y)$

значения которой лежат в интервале (если, например, $\Delta y > 0$)

$(14b) \qquad \eta \in \, ]y, y + \Delta y[$

Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной $f_{yx} = {\partial^2 f \over \partial y \partial x}$ в некоторой двухмерной окрестности точки $(x, y)$.

Для окончания доказательства надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке $(x, y)$ как функция двух переменных. Значение этой производной в близкой точке $(\xi, \eta)$ равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке $(x, y)$:

$(15) \qquad f_{yx}(\xi, \eta) = f_{yx}(x, y) + o(\xi - x, \eta -y)$

Смешанная производная $f_{yx}$ существует в двухмерной окрестности точки $(x, y)$ и непрерывна в этой точке как функция двух переменных.

Подставим (14) и (15) в (13).

$(16) \qquad f_{xy} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \int_x^{x+\Delta x} (f_{yx}(x, y) + o(\xi - x, \eta -y)) d \xi$

Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13) (хотя и в других обозначениях), а потому интеграл и обе границы существуют. Поскольку подынтегральная функция в (16) интегрируема, а первое слагаемое $f_{yx}(x,y)$ является константой по переменной интегрирования $\xi$, то второе слагаемое тоже оказывается интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых легко берется как интеграл от константы:

$(17) \qquad \int_x^{x+\Delta x} (f_{yx}(x, y) + o(\xi - x, \eta -y)) d \xi = \int_x^{x+\Delta x} f_{yx}(x,y) d \xi + \int_x^{x+\Delta x} o(\xi - x, \eta -y) d \xi =$

$= f_{yx} \Delta x + \int_x^{x+\Delta x} o(\xi - x, \eta -y) d \xi$

После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:

$(18) \qquad f_{xy} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} \left ( f_{yx}(x,y) \Delta x + {1 \over \Delta x} \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \int_x^{x+\Delta x} o(\xi - x, \eta(\xi,\Delta y) -y) d \xi \right ) =$

$= f_{yx}(x, y) + \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \int_x^{x+\Delta x}o(\xi - x, \eta(\xi,\Delta y) -y) d \xi$

Покажем, что второе слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно нулю. Возьмем произвольное положительное число $\epsilon$. Непрерывность смешанной производной $f_{yx}$ в точке $(x, y)$ означает, что существует такое положительное число $\delta$, что для каждой точки $(\xi, \eta)$ внутри квадрата $|\xi - x| < \delta, \; |\eta - y| < \delta$ справедливо неравенство:

$(19) \qquad |o(\xi-x, \eta - y)| = |f_{yx}(\xi, \eta) - f_{yx}(x,y)| < \epsilon$

Если мы возьмем положительные числа $\Delta x < \delta, \; \Delta y < \delta$, то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:

$(20) \qquad \int_x^{x+\Delta x}o(\xi - x, \eta(\xi,\Delta y) -y) d \xi < \int_x^{x+\Delta x} \epsilon d \xi = \epsilon \Delta x$

Обозначим это слагаемое $L$

$(21) \qquad L = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \int_x^{x+\Delta x}o(\xi - x, \eta(\xi,\Delta y) -y) d \xi \le \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {1 \over \Delta x} \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \epsilon \Delta x = \epsilon$

Аналогично (если взять $-\epsilon < \Delta x < 0$), имеем оценку снизу:

$(22) \qquad L \ge -\epsilon$

Поскольку положительное число $\epsilon$ может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует $L = 0$. Теорема доказана.

Уточнение гладкости функции

Как видно в ходе доказательства, от функции требуется существование одной смешанной производной (например, $f_{xy}$) в точке, а также существование второй смешанной производной $f_{yx}$ в двумерной окрестности точки и ее непрерывность в этой точке. Из этого условия также следует существование производной $f_y$ вдоль отрезка прямой $y = const$, и существование производной $f_x$ в двумерной окрестности точки.

Кроме того, существование Пример

Рассмотрим функцию

$(23) \qquad f(x, y) = xy + y^2 \chi(y)$

Где функция Дирихле $\chi(y)$ равна нулю в рациональных точках $y={m \over n}$ и единице в иррациональных. Функция (23) определена на всей плоскости; непрерывна (как функция двух переменных) вдоль прямой $y = 0$ и разрывная во всех других точках плоскости.

Везде существует непрерывная частная производная:

$(24) \qquad f_x(x, y) = {\partial f \over \partial x} = y$

а также одна из смешанных производных:

$(25) \qquad f_{yx}(x, y) = {\partial^2 f \over \partial y \partial x} = 1$

Частная производная по игрек существует лишь в точках прямой $y=0$:

$(26) \qquad f_y(x, 0) = x$

Также в этих же точках прямой существует вторая смешанная производная:

$(27) \qquad f_{xy}(x, 0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {f_y(x+\Delta x, 0) - f_y(x, 0) \over \Delta x} = 1$

Как видим, для точек прямой $y = 0$ условия теоремы выполняются, и обе смешанные производные равны.

Контрпример

Рассмотрим функцию двух переменных $x, y$

$(28) \qquad f(x, y) = {|a x + b y|^3 \over \sqrt{x^2 + y^2}}$

где буквами $a, b$ обозначены некоторые ненулевые параметры. Формула (28) задает непрерывную функцию всюду на плоскости за исключением начала координат $x=0, \; y=0$. Мы можем доопределить функцию $f(x,y)$ в начале координат

$(29) \qquad f(0,0) = 0$

Согласно этим определениям функция будет непрерывной также и в начале координат, что можно видеть, представив формулу (28) в полярной системе координат (и направляя $r \rightarrow 0$):

$(30) \qquad f(r, \phi) = (a^2+b^2)^{3 \over 2} \, r^2 |\sin(\phi + \phi_0)|^3$

Покажем, что для этой доопределённой функции $f(x,y)$ смешанные производные в начале координат существуют, но не равны между собой.

Сначала вычислим первые производные $f_x, \, f_y$. Как промежуточный результат, заметим, что функция «куб модуля» дважды дифференцируема, и её первая и вторая производные вычисляются по формулам:

$(31) \qquad {d \over d x} |x|^3 = 3 x |x|$

$(31a) \qquad {d^2 \over d x^2} |x|^3 = {d \over d x} (3 x |x|) = 6 |x|$

Теперь, учитывая (28) и (31), запишем первые производные функции $f(x,y)$ в точке плоскости, отличной от начала координат ($r = \sqrt{x^2 + y^2}$):

$(32) \qquad f_x = 3 a {(a x + b y)|a x + b y| \over r} - {x \over r^3} |a x + b y|^3$

$(33) \qquad f_y = 3 b {(a x + b y)|a x + b y| \over r} - {y \over r^3} |a x + b y|^3$

Можно также вычислить первые производные в начале координат, исходя из определения производной:

$(32a) \qquad f_x(0, 0) = \lim_{x \rightarrow 0} {f(x, 0) - f(0,0) \over x} = \lim_{x \rightarrow 0} {|ax|^3 \over {x |x|}} = 0$

Аналогично

$(33a) \qquad f_y(0, 0) = 0$

Перейдём теперь к вычислению смешанных производных в начале координат:

$(34) \qquad f_{xy}(0, 0) = \lim_{x \rightarrow 0} {f_y(x, 0) - f_y(0,0) \over x} = \lim_{x \rightarrow 0} {1 \over x} \left ({3 b a x |a x| \over |x|} \right ) = 3 a b |a|$

Аналогичное вычисление даёт:

$(35) \qquad f_{yx}(0, 0) = 3 a b |b|$

Легко видеть, что формулы (34) и (35) дают разные результаты, если:

$(36) \qquad |a| > 0, \; |b| > 0, \; |a| \ne |b|$

Причина этого неравенства в том, что не выполняется условие теоремы — обе смешанные производные (хотя существуют везде) являются разрывными в начале координат.

Можно также рассмотреть функцию

$f(x, y) = {x y (x^2 - y^2) \over x^2 + y^2}$

Упрощенное доказательство для аналитических функций

Аналитическая функция двух переменных (по крайней мере локально) разлагается в сходящийся степенной ряд:

$(37) \qquad f(x, y) = \sum_{n, m = 0}^{\infty} a_{nm} (x - x_0)^n (y - y_0)^m$

Как известно, степенной ряд можно дифференцировать почленно в пределах его радиуса сходимости. Таким образом, найдем первые производные:

$(38) \qquad f_x = \sum_{n, m = 0}^{\infty} n a_{nm} (x - x_0)^{n-1} (y - y_0)^m$

$(39) \qquad f_y = \sum_{n, m = 0}^{\infty} m a_{nm} (x - x_0)^n (y - y_0)^{m-1}$

Повторное дифференцирование (38) и (39) дает одну и ту же формулу для обоих смешанных производных:

$(40) \qquad f_{xy} = f_yx = \sum_{n, m = 0}^{\infty} n m a_{nm} (x - x_0)^{n-1} (y - y_0)^{m-1}$

См. также

• Смешанная частная производная

Литература

• Hazewinkel Michiel Encyclopaedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1556080104
• Kleinert H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation. — World Scientific, 2008. — ISBN 978-981-279-170-2