Проблема Варинга

В 1770 г. Варинг выдвинул гипотезу^[1], что при каждом целом $n > 1$ существует такое число $k = k (n)$, что всякое натуральное число $N$ может быть представлено в виде

$x_1^n+x_2^n + \dots + x_k^n = N \quad (1)$

с целыми неотрицательными $x_1, x_2, \dots x_k$. Эта гипотеза получила название проблема Варинга. Сегодня так называют весь круг вопросов, связанных с целочисленным равенством $(1)$.

Основные результаты

До ХХ века эту проблему удавалось решить только в частных случаях, например, Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов. Первое доказательство справедливости гипотезы Варинга было дано в 1909 г. Гильбертом^[2]. Это весьма объёмное доказательство построено на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 г. новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод.^[3] Они ввели 2 функции $g(n)$ и $G(n)$; $g(n)$ — наименьшее $k$ такое, что $(1)$ разрешимо при $N \ge 1$; $G(n)$ — наименьшее $k$ такое, что $(1)$ разрешимо при $N \ge N_0(n)$. Ясно, что $G(n) \le g(n)$. Харди и Литтлвуд дали для $G(n)$ оценку снизу $n < G (n)$, которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по сей день, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений $(1)$.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Ю. В. Линник в 1942 г. нашел доказательство основной теоремы на базе элементарных методов.^[4]

Функция $g(n)$ сегодня известна. Для более фундаментальной функции $G(n)$ получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых $n$ .

Функция g(n)

Обозначим [x] целую часть рационального числа x. И. А. Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 г.,^[5] что

$g(n) = 2^n + [(3/2)^n] - 2. \quad (2)$

Позднее Dickson, Pillai, Rubugunday, Niven^[6] с учетом результата Mahler^[7] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений $n$ превышающих 471600000. Сегодня предполагается, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Приведём несколько первых значений g(n):

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055 … последовательность A002804 в OEIS

Любопытно, что, например, для $n = 3$ только числа 23 и 239 не представимы суммой 8 кубов.

Функция G(n)

В 1924 г. И. М. Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм.^[8] Это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для $G(n)$. После целого ряда уточнений он в 1959 г. доказал, что

$\! G(n) < 2 n\log n + 4 n\log\log n + 2 n\log\log\log n+ 13 n. \quad (3)$

Применяя сконструированную им $p$-адическую форму кругового метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, А. А. Карацуба улучшил^[9] эту оценку. При $n \ge 400$:

$\! G(n) < 2 n\log n + 2 n\log\log n + 12 n. \quad (4)$

В дальнейшем оценку улучшил Т. Вули. Сначала в работе^[10], а потом в работе^[11]

$G(n)\le n\log n+n\log\log n+2+O(\log\log n/\log n). \quad (5)$

Р. Ч. Воган и Т. Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью.^[12] В этом обзоре Р. Ч. Воган присваивает формулу $(4)$ себе, ссылаясь на работу,^[13] которая опубликована на 4 года позже, чем работа А. А. Карацубы.

Открытые вопросы

Границы
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактически величина $G(n)$ известна только для 2 значений аргумента, именно $G(2) = 4$ и $G(4) =16$.

Последний результат^[14] доказал Х. Давенпорт.

Верхние границы в таблице справа для $n=5,...,20$ приведены в работе Р. Ч. Вогана и Т. Вули.^[12]

То, что $G(3)\le 7$, доказал^[4] Ю. В. Линник. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4,^[15] наибольшее известное число, не представимое суммой 4 кубов, это 7373170279850,^[16]

Также на основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что $G(5) < G(4)$.

Помимо точных значений $G(n)$ открытым остаётся вопрос и о числе решений $(1)$ при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми». ^[17]

Обобщения

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга А. А. Карацуба получил ^[18][19] следующее двумерное обобщение этой проблемы:

Рассмотрим систему уравнений

$x_1^{n-i}y_1^i + \dots + x_k^{n-i}y_k^i = N_i$ , $i = 0,1,\dots, n$ ,

где $N_i$ — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, $N_0 \to +\infty$ , а $x_{\varkappa},y_{\varkappa}$ — неизвестные, но также положительные целые числа. Эта система разрешима, если $k > cn^2\log n$ , а если $k < c_1n^2$ , то существуют такие $N_i$-ые, что система не имеет решений.

Проблема Варинга-Гольдбаха

Проблема Варинга-Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен в своей монографии^[20], используя улучшенные методы Харди-Литлвуда и Виноградова, получает для числа простых слагаемых в $(1)$ оценку сверху $O(n^2 log n)$.

Е. А. Бурлакова в работе^[21] доказывает, что гипотеза Варинга справедлива для случая, когда слагаемые простые числа.

В статье В. Н. Чубариков утверждается без ссылок, что он дал полное решение этой проблемы в 2009 г.

Точность представления целого числа суммой степеней

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых. А. А. Карацуба отмечает, что вопрос о точности представления целого суммой 2 квадратов, поставленный еще Эйлером, не решён по сей день.^[22]

См. также

• Теория чисел

Ссылки

1. ↑ Waring E. Meditationes algebraicae. Cambridge, 1770.
2. ↑ D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem), Mathematische Annalen, 67, pages 281—300 (1909)
3. ↑ Hardy G.H., Littlwood J.E. — Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p. 33-54. IV: Math. Z.1922, № 12, p. 161—188.
4. ↑ ^{1 2} Линник Ю. В. — Мат. сб., 1943, т.12, № 54, с.218-230.
5. ↑ Л. Эйлер «Opera postuma» (1), 203—204 (1862)
6. ↑ Niven, Ivan M. (1944). «An unsolved case of the Waring problem». American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 66 (1): 137–143. DOI:10.2307/2371901.
7. ↑ (1957) «On the fractional parts of the powers of a rational number II». Mathematika 4: 122–124.
8. ↑ Виноградов И. М. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т.23, № 5, с.637-642.
9. ↑ Карацуба, А. А. (1985). «О функции G(n) в проблеме Варинга». Изв. РАН. Сер. матем. (49:5): 935–947.
10. ↑ T. D. Wooley, Large improvements in Waring’s problem, Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
11. ↑ T. D. Wooley, New estimates for smooth Weyl sums, J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.:
12. ↑ ^{1 2} R. C. Vaughan, T. D. Wooley Waring's Problem: A Survey Number Theory for the Millennium. — A. K. Peters, 2002. — Vol. III. — P. 301–340. — ISBN 978-1-56881-152-9
13. ↑ R. C. Vaughan, A new iterative method in Waring’s problem, Acta Math. 162 (1989), 1-71.
14. ↑ Davenport H. — Ann. of Math., 1939, № 40, p.731-747
15. ↑ Nathanson (1996)p.71
16. ↑ (2000) «7373170279850». Mathematics of Computation 69 (229): 421–439. DOI:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.
17. ↑ Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми : диссертация … кандидата физико-математических наук
18. ↑ Архипов Г. И., Карацуба А. А. (1987). «Многомерный аналог проблемы Варинга». Докл. АН СССР (295:3): 521–523.
19. ↑ Karatsuba A. A. (1988). «Waring's problem in several dimension». Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht (42): 5–6.
20. ↑ Hua Lo Keng: Additive theory of prime numbers, Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R.I. 1965 xiii+190 pp
21. ↑ Бурлакова Е. А. Проблема Варинга-Гольдбаха — Сайт Чебышевского сборника
22. ↑ Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 847.