- ВАРИНГА ПРОБЛЕМА
- проблема теории чисел, сформулированная Э. Варингом (Е. Waring) в 1770 в следующем виде: всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней. Другими словами: для любого
существует такое 
, зависящее только от п, что любое натуральное число есть сумма А: п-х степеней неотрицательных целых чисел. Первое общее решение В. п. с очень грубой оценкой величины kв зависимости от пдано в 1909 Д. Гильбертом (D. Hilbert), в связи с чем В. п. иногда наз. проблемой Гильберта- Варннга. Если через 
обозначить число решений в целых неотрицательных числах уравнения
то теорема Гильберта утверждает, что существует
, для к-рого 
при любом 
. В 1928 Г. X. Харди и Дж. И. Литлвуд (G. Н. Hardy, J . Е. Littlewood), применив к В. п. круговой метод, доказали, что при 
для 
имеет место асимптотич. формула вида
где
, а 
н 
некоторые постоянные. Следовательно, при 
уравнение (1) имеет решение. В связи с этим результатом возникли три проблемы: установить порядок трех величин 
,
- наименьших целых чисел, для к-рых: а) уравнение (1) разрешимо при 
и 
; б) уравнение (1) разрешимо прп 
н 
; в) для величины 
при 
имеет место асимптотнч. формула (2).
а) Известно, что
. В 1934 И. М. Виноградов прп помощи созданного им метода доказал, что
.
Кроме того, имеется много результатов относительно G(n).для небольших значений п:
(X. Давенпорт, Н. Davenport, 1939), 
(Ю. В. Линннк, 1942).
б) В 1936 Л. Диксон н С. Пиллан (L. Dickson, S. Pillai), применив Виноградова метод, доказали, что
для всех
, для к-рых
Последнее же условие доказано К. Малером (К. Mahler) в 1957 для всех достаточно больших п.
в) Наилучший результат принадлежит И. М. Виноградову, к-рый доказал, что
Элементарное доказательство В. п. дано Ю. В. Линником в 1942. Существует много различных обобщений
В. п. (переменные пробегают нек-рое подмножество множества натуральных чисел; вместо одночленов
в представлении числа Nрассматриваются многочлены 
; вместо уравнения (1) рассматривается сравнение и т. д.).
Особое значение В. п. состоит в том, что пря ее решении созданы мощные методы аналитической теории чисел.
Лит.[1] Виноградов И. М., Избранные труды, М., 1952; [2] его же. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел, пер. е нем., М., 1964; [4] Делоне Б Н., Петербургская школа теории чисел, М.- Л., 1947; [5] Xинчин А. Я., Три жемчужины теории чисел, 2 изд., М.-Л., 1948. А. А. Карацуба.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
