Последовательность де Брёйна

Последовательность де Брёйна^[1] — последовательность $a_1,\;\ldots,\;a_t$, элементы которой принадлежат заданному конечному множеству (обычно рассматривают множество $\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}$), и все подпоследовательности $a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n}$ заданной длины $n$, различны.

Часто рассматриваются периодические последовательности с периодом $T$, содержащие $T$ различных подпоследовательностей $a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n}$ — то есть такие периодические последовательности, в которых любой отрезок длины $T+n-1$ является последовательностью де Брёйна с теми же параметрами $n$ и $k$.

Циклы де Брёйна названы по имени голландского математика Николаса де Брёйна, который рассматривал их в 1946 году^[2], хотя они изучались и ранее^[3].

Свойства

Очевидно, что длина (период) такого цикла не может превосходить числа $k^n$ всех различных векторов длины $n$ с элементами из $\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}$; несложно доказать, что эта оценка достигается. Циклы этой максимально возможной длины обычно называют циклами де Брёйна (впрочем, иногда этот термин применяют и к циклам меньшей длины).

При $k=2$ существуют такие циклы де Брёйна с длиной, на единицу меньшей максимума, которые выражаются линейными рекуррентными соотношениями порядка $n$: так, при $n=3$ соотношение $x_n=x_{n-2}+x_{n-3}\pmod 2$ порождает последовательности с периодом 7, например 0010111001011100… (цикл де Брёйна 0010111). На основе таких последовательностей построен, в частности, циклический избыточный код CRC32 (EDB88320).

Примеры

Примеры циклов де Брёйна для $k=2$ с периодом 2, 4, 8, 16:

• 01 (содержит подпоследовательности 0 и 1)
• 0011 (содержит подпоследовательности 00, 01, 11, 10)
• 00010111 (000, 001, 010, 101, 011, 111, 110, 100)
• 0000100110101111

Количество циклов де Брёйна

Количество циклов де Брёйна с параметрами $n$ и $k$ есть $k!^{k^{(n - 1)}}/k^n$ (частный случай теоремы де Брёйна — Эренфест (англ.) — Смита (англ.) — Тутте (англ.), BEST-теорема (англ.)).

Граф де Брёйна

Существует удобная интерпретация последовательностей и циклов де Брёйна, основанная на так называемом графе де Брёйна — ориентированном графе с $k^n$ вершинами, соответствующими $k^n$ различных наборов длины $n$ с элементами из $\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}$, в котором из вершины $(x_1,\;\ldots,\;x_n)$ в вершину $(y_1,\;\ldots,\;y_n)$ ребро ведёт в том и только том случае, когда $x_i=y_{i-1}$ ($i=2,\;\ldots,\;n$); при этом самому ребру можно сопоставить набор длины $n+1$: $(x_1,\;\ldots,\;x_n,\;y_n)=(x_1,\;y_1,\;\ldots,\;y_n)$. Для такого графа не проходящие дважды через одно и то же ребро эйлеровы пути (эйлеровы циклы) соответствуют последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами $n+1$ и $k$, а не проходящие дважды через одну и ту же вершину гамильтоновы пути (гамильтоновы циклы) — последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами $n$ и $k$.

Граф де Брёйна широко применяется в биоинформатике в задачах сборки генома.

Примечания

1. ↑ Встречаются также написания «де Бройна» и «де Брюина».
2. ↑ de Bruijn N. G. A combinatorial problem // Koninklijke Nederlandse Akademie v. Wetenschappen. 1946. — v. 49. — pp. 758—764.
3. ↑ Flye Sainte-Marie C. Question 48 // L’intermédiaire math. — 1894. — v. 1. — pp. 107—110.

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.