Стандартное отображение

Стандартное отображение (англ. Standard map), известное также как стандартное отображение Чирикова (англ. Chirikov standard map) и отображение Чирикова-Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) — нелинейное отображение (что сохраняет объем) для двух канонических переменных, $(p,x)$ (импульса и координаты). Отображение известно своими хаотическими свойствами, которые впервые были исследованы^[1] Борисом Чириковым в 1969 году.

Отображение задается такими итерационными уравнениями:

$\begin{array}{lcr} {p}_{n+1} = p_n+K\sin x_n \\ {x}_{n+1} = x_n+{p}_{n+1} \end{array}$

где параметр $K$ контролирует хаотичность системы.

Модель ротатора

Стандартное отображение описывает движение классического ротатора — фиксированного стержня, на который не действует сила тяжести и который вращается без трения в плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов. Ротатор также испытывает вызванные внешней силой периодические во времени (с периодом единица) удары бесконечно короткой продолжительности. Переменные $x_n$ b $p_n$ соответствуют углу поворота ротатора и его угловому моменту после $n$-ого удара. Параметр $K$ описывает силу удара. Функция Гамильтона ротатора может быть записана так: $H=\frac{p^2}{2}+K\cos x ~~\delta_{Per}(t),$

где функция $\delta_{Per}(t)$ — периодическая функция с периодом 1, на одном периоде совпадает с δ-функцией Дирака. Из вышеприведенной функции Гамильтона элементарно получается стандартное отображение.

Свойства

Рис.1. K=0.6

Рис.2. K=0.971635

Рис. 3. K=1.2

Для случая K = 0 отображение является линейным, поэтому существуют лишь периодические и квазипериодические тректории. При $K\neq 0$ отображение становится нелинейным, согласно теореме КАМ, происходит разрушение инвариантных торов и движения стохастических слоев, в которых динамика является хаотической. Рост $K$ приводит к увеличению областей хаоса на фазовой плоскости $(x,p)$. Благодаря периодичности функции $sin(x)$, динамику системы можно рассматривать на цилиндре [взяв $x~ mod (2\pi)$] или на торе [взяв $(x,p)~ mod (2\pi)$].

Стационарные точки отражения определяются из условия
$(x_n,p_n)=(x_{n+1},p_{n+1})$. На интервале $x \in [0,2\pi[$, $p \in [0,2\pi[$ такими точками являются $(0,0)$ и $(\pi,0)$ (вследствие симетрчности фазовой плоскости системы $(x_n,p_n)$ при инверсии относительно точки $(\pi,\pi)$ стационарные точки $(0,\pi)$ и $(\pi,\pi)$ можно не рассматривать). Анализ линейной устойчивости отображения сводится к анализу системы уравнений

$\left [\begin{array}{c} \delta x_{n+1}\\ \delta p_{n+1}\end{array} \right ]={\hat M} \left [ \begin{array}{c} \delta x_{n}\\ \delta p_{n}\end{array} \right ]~,$
$~~~~ {\hat M}=\left [ \begin{array}{cc} 1 & 1+ K \cos x_n \\ 1 & K \cos x_n \end{array} \right ].$
Из условия $\det |{\hat M}-\lambda {\hat I}|=0$ можно определить собственные значения матрицы ${\hat M}$ для обоих стационарных точек [$(0,0)$ и $(\pi,0)$]:
$\lambda_{\pm}^{(0,0)}= \frac{2+K {\pm}\sqrt{K^2+4K}}{2}~,$ $\lambda_{\pm}^{(\pi,0)}= \frac{2-K {\pm}\sqrt{K^2-4K}}{2}~.$

Поскольку K> 0, то отсюда следует неравенство $\lambda_{+}^{(0,0)}>1$. В то же время справедливо неравенство $\lambda_{-}^{(0,0)}<\lambda_{+}^{(0,0)}<1$ для произвольных K> 0. Таким образом стационарная точка $(0,0)$ является неустойчивой гиперболической точкой. Стационарная точка $(\pi,0)$ является устойчивой эллиптической точкой при $0 \ge K < 4$, поскольку тогда $\Re \left |\lambda_{\pm}^{(\pi,0)} \right |=1$. Для $K\ge 4$ стационарная точка $(\pi,0)$ теряет устойчивость и становится гиперболической.

Ниже критического значения параметра, $K<K_c$ (Рис. 1) инвариантные торы делят фазовое пространство системы так, что момент импульса $p$ является ограниченным — иными словами, диффузия $p$ в стохастическом слое не может выходить за границы, ограниченные инвариантными торами. «Золотой» инвариантный тор разрушается, когда число вращения достигает значения $r_g=(\sqrt{5}-1)/2$, что соответствует критическому значению параметра $K_g=0.971635...$ (фазовое пространство системы для $K=0.971635$ изображено на Рис. 2). На данный момент строго не доказано, что $K_c=K_g$, однако численные расчеты показывают, что это скорее всего так. На сегоняшний день существует лишь строгое доказательство того, что при $K>63/64=0.984375...$. При $K>K_c$ наблюдается режим глобального хаоса, когда стохастическое море с отдельными островками устойчивости покрывает всё фазовое пространство (см. Рис. 3.). Инвариантных торов, ограничивающих эволюцию в фазовом пространстве, уже нет, и можно говорить о диффузии траектории в хаотическом море.

Энтропия Колмогорова-Синая стандартного отображения хорошо описывается соотношением $h\approx \ln(K/2)$ для значений контрольного параметра $K>4$^[2]

Квантовое стандартное отображение

Переход на квантового стандартного отображения происходит заменой динамических переменных $(p,x)$ квантовомеханическими операторами $({\hat p},{\hat x})$, которые удовлетворяют коммутационному соотношению $[{\hat p},{\hat x}]=-i\hbar$, где $\hbar$ — эффективная безразмерная постоянная Планка.

Основным свойством квантового отображения по сравнению с классическим является т. н. явление динамической локализации, заключающейся в подавлении хаотической диффузии за счет квантовых эффектов^[3].

Применение

Много физических систем и явлений сводятся к стандартному отображению. Это, в частности,

• Динамика частиц в ускорителях;
• Динамика кометы в Солнечной системе;
• Микроволновая ионизация ридберговских атомов и автоионизация молекулярных ридберговских состояний;
• Электронный магнетотранспорт в резонансном туннельном диоде;
• Конфайнмент заряженных частиц в зеркальных магнитных ловушках;

Модель Френкеля-Конторова

Модель Френкеля-Конторова следует выделить отдельно как первую модель, в которой уравнения стандартного отображения были записаны аналитически. Эта модель используется для описания динамики дислокаций, монослоев на поверхностях кристаллов, волн плотности заряда, сухого трения. Модель в стационарном случае задает связь между положениями взаимодействующих частиц (например атомов) в поле пространственно-периодического потенциала. Функция Гамильтона одномерной цепочки атомов, взаимодействующих с ближайшими соседями через параболический потенциал взаимодействия и находящимися в поле косинусоидального потенциала, который описывает кристаллическую поверхность, имеет следующий вид: $H= \sum_{n}\left ({P_n^2 \over 2} + {(x_{n+1}-x_{n})^2 \over 2}- K \cos x_n \right )~,~~~ P_n={\dot x}_n~.$
Здесь $x_n$ — отклонение атома от своего положения равновесия. В стационарном случае ($P_n \equiv 0$) это приводит к следующему уравнению $x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=K \sin x_n~,$
которое заменой $p_{n+1}=x_{n+1}-x_n$ можно свести к обычной записи стандартного отображения.

Примечания

1. ↑ B.V.Chirikov, «Research concerning the theory of nonlinear resonance and stochasticity», Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
2. ↑ B.V.Chirikov, «A universal instability of many-dimensional oscillator systems», Phys. Rep. 52: 263 (1979).
3. ↑ G.Casati, B.V.Chirikov, F.M.Izrailev, J.Ford, Lecture Notes in Physics, Springer, Berlin, 93: 334 (1979)

Литература

• Стандартное отображение Чирикова на www.scholarpedia.org (на английском).

• Standard map на MathWorld (на английском).

• Lichtenberg, A.J. and Lieberman, M.A. Regular and Chaotic Dynamics. — Springer, Berlin, 1992. — ISBN ISBN 978-0-387-97745-4 Springer link

• Ott, Edward Chaos in Dynamical Systems. — Cambridge University Press New, York, 2002. — ISBN ISBN 0-521-01084-5

• Sprott, Julien Clinton Chaos and Time-Series Analysis. — Oxford University Press, 2003. — ISBN ISBN 0-19-850840-9

• B.V.Chirikov, «Time-dependent quantum systems» in «Chaos and quantum mechanics», Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp.443-545, Eds. M.-J.Giannoni, A.Voros, J.Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).