Последовательность жонглёра

В математике после́довательность жонглёра - целочисленная последовательность, начинающаяся с натурального числа a₀, в которой каждый следующий элемент определяется следующим рекуррентным соотношением:

$a_{k+1}= \begin{cases} \left \lfloor a_k^{\frac{1}{2}} \right \rfloor, & \mbox{if } a_k \mbox{ is even} \\ \\ \left \lfloor a_k^{\frac{3}{2}} \right \rfloor, & \mbox{if } a_k \mbox{ is odd} \end{cases}$^[1]

Общие сведения

Последовательности жонглера были открыты американским математиком и автором Клиффордом А. Пиковером (англ.)русск.^[2][3]. Например, последовательность жонглёра для a₀ = 3:

$a_1= \lfloor 3^\frac{3}{2} \rfloor = \lfloor 5,196\dots \rfloor = 5,$

$a_2= \lfloor 5^\frac{3}{2} \rfloor = \lfloor 11,180\dots \rfloor = 11,$

$a_3= \lfloor 11^\frac{3}{2} \rfloor = \lfloor 36,482\dots \rfloor = 36,$

$a_4= \lfloor 36^\frac{1}{2} \rfloor = \lfloor 6 \rfloor = 6,$

$a_5= \lfloor 6^\frac{1}{2} \rfloor = \lfloor 2,449\dots \rfloor = 2,$

$a_6= \lfloor 2^\frac{1}{2} \rfloor = \lfloor 1,414\dots \rfloor = 1.$

Если последовательность жонглёра достигает 1, то все её последующие значения равны 1. Предполагается, что все последовательности жонглёра, в конечном счете, достигают 1. Эта гипотеза была проверена для начальных значений (a₀) до 10^6[4], но не доказана. Гипотеза жонглера, таким образом, представляет собой проблему, похожую на проблему Коллатца, о которой Пол Эрдёш сказал, что "математика еще не готова для таких задач". Для заданного начального числа a₀, l(a₀) определяется как номер первого равного единице элемента, а h(a₀) - как максимальное значение в этой последовательности. Для малых значений a₀ получаем:

a0	Последовательность жонглёра	l(a0) последовательность A007320 в OEIS	h(a0) последовательность A094716 в OEIS
2	2, 1	1	2
3	3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	6	36
4	4, 2, 1	2	4
5	5, 11, 36, 6, 2, 1	5	36
6	6, 2, 1	2	6
7	7, 18, 4, 2, 1	4	18
8	8, 2, 1	2	8
9	9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1	7	140
10	10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	7	36

Элементы последовательности жонглёра могут достигать очень больших значений. Например, последовательность жонглёра, начинающаяся с a₀ = 37, достигает максимального значения 24 906 114 455 136. Последовательность жонглёра для a₀ = 48443 достигает максимального значения, которое содержит 972 463 цифры, в 60-м элементе, а 1 достигается на 157-м элементе последовательности^[5].

См. также

• Гипотеза Коллатца
• Открытые проблемы в теории чисел
• Открытые математические проблемы

Примечания

1. ↑ even - чётное число, odd - нечётное число.
2. ↑ Pickover, Clifford A.1, 1992
3. ↑ Pickover, Clifford A.2, 2002
4. ↑ juggler sequence on MathWorld
5. ↑ Letter from Harry J. Smith to Cliiford A.

Литература

• Pickover, Clifford A. Computers and the Imagination. — St. Martin's Press, 1992. — ISBN 978-0-312-08343-4
• Pickover, Clifford A. The Mathematics of Oz. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-01678-0
• Weisstein, Eric W. Juggler Sequence  (англ.). MathWorld. Проверено 19 июня 2012.
• Letter from Harry J. Smith to Cliiford A. Pickover  (англ.) (27 June 1992). Проверено 19 июня 2012.