Гиперобъём

Гиперобъём — некоторая мера (обычно мера Лебега), сопоставляемая внутренности «гипертелам» (телам в многомерном пространстве), обобщение трёхмерного объёма. Аналогичная мера для границы гипертела называется гиперплощадь.

Вычисление

Существует несколько компьютерных алгоритмов вычисления гиперобъёма. См. Алгоритмы точного вычисления гиперобъема.

Точное вычисление значения гиперобъёма множества из d точек n-мерного пространства является #P-трудной задачей.^[1]

Гиперобъём некоторых тел

Тело	Точное определение	Гиперобъём
Гиперкуб	выпуклая оболочка точек $(\underbrace{\pm 1,\ldots,\pm1}_n)$	$V_n=2^n$
Симплекс	выпуклая оболочка точек $(\underbrace{0,\ldots,0,1,0,\ldots,0}_n)$ и начала координат	Определитель Кэли — Менгера
n-мерный шар	ГМТ, удалённых от центра на расстояние не больше r.	$V_n= \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}R^n \$
Гиперконус	?	$V_4= \frac {\pi hR^3} {12}$

В других областях

Существует т. н. «модель гиперобъёма» Дж. Э. Хатчинсона, согласно которой экологическая ниша представлена как n-мерный куб, на осях которого отложены экологические факторы.

В работе^[2] детально рассматривается применение [1] индикатора гиперобъема] в эволюционных алгоритмах.

См. также

• Мера Лебега
• Гиперкуб

Примечания

1. ↑ Оценка сложности вычисления гиперобъема — Викиконспекты
2. ↑ Brockhoff D., Friedrich T., Neumann F. — Analyzing Hypervolume Indicator Based Algorithms