Вейвлет Хаара

Вейвлет Хаара

Вейвлет Хаа́ра — один из первых и наиболее простых вейвлетов. Он был предложен венгерским математиком Альфредом Хааром в 1909 году. Вейвлеты Хаара ортогональны, обладают компактным носителем, хорошо локализованы в пространстве, но не являются гладкими. Впоследствии Ингрид Добеши стала развивать теорию ортогональных вейвлетов и предложила использовать функции, вычисляемые итерационным путем, названные вейвлетами Добеши.

Построение вейвлета Хаара

Родительская (материнская) вейвлет-функция $\psi(x)$ с нулевым значением интеграла $\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)dx = 0$, определяющая детали сигнала, задается следующим образом:

$\psi(x)= \begin{cases} 1, & 0 \le x < 1/2 \\ -1, & 1/2 \le x <1 \\ 0, & x \notin [0,1) \end{cases}$

Масштабирующая функция $\phi(x)$ с единичным значением интеграла $\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)dx = 1$, определяющая грубое приближение (аппроксимацию) сигнала, постоянна: $\phi(x)= \begin{cases} 1, & 0 \le x < 1 \\ 0, & x \notin [0,1) \end{cases}$

Преобразование Хаара

Преобразование Хаара используется для сжатия входных сигналов, компрессии изображений, в основном цветных и черно-белых с плавными переходами. Идеален для картинок типа рентгеновских снимков. Данный вид архивации известен довольно давно и напрямую исходит из идеи использования когерентности областей. Степень сжатия задается и варьируется в пределах 5-100. При попытке задать больший коэффициент на резких границах, особенно проходящих по диагонали, проявляется "лестничный эффект" - ступеньки разной яркости размером в несколько пикселов.

Преобразование Хаара для одномерного сигнала

Пусть имеется одномерный дискретный входной сигнал $S$. Каждой паре соседних элементов ставятся в соответствие два числа: $a_i=\frac{S_{2i}+S_{2i+1}}{2}$ и $b_i=\frac{S_{2i}-S_{2i+1}}{2}$. Повторяя данную операцию для каждого элемента исходного сигнала, на выходе получают два сигнала, один из которых является огрубленной версией входного сигнала — $a_i$, а второй содержит детализирующую информацию, необходимую для восстановления исходного сигнала. Аналогично, преобразование Хаара может быть применено к полученному сигналу $a_i$ и тд.

Пример

Пусть входящий сигнал представляется в виде строки из 8 значений яркости пикселов ($S$): (220, 211, 212, 218, 217, 214, 210, 202). После применения преобразования Хаара получаются следующие две последовательности $a_1$ и $b_1$: (215.5, 215, 215.5, 206) и (4.5, -3, 1.5, 4). Стоит заметить, что значения $b_1$ достаточно близки к 0. Повторяя операцию, применительно к последовательности $a_1$, получаем: (215.25, 210.75) (0.25, 4.75).

На примере преобразования Хаара хорошо видна структура дискретного вейвлет-преобразования сигнала. На каждом шаге преобразования сигнал распадается на две составляющие: приближение с более низким разрешением (аппроксимацию) и детализирующую информацию.

Преобразование Хаара для двумерного сигнала

Двумерное преобразование Хаара — это не что иное, как композиция одномерных преобразований Хаара. Пусть двумерный входной сигнал представляется матрицей $S$. После применения одномерного преобразования Хаара к каждой строке матрицы $S$ получаются две новые матрицы, строки которых содержат аппроксимированную и детализирующую часть строк исходной матрицы. Аналогично к каждому столбцу полученных матриц применяют одномерное преобразование Хаара и на выходе получают четыре матрицы, одна из которых является аппроксимирующей составляющей исходного сигнала, а три оставшиеся содержат детализирующую информацию — вертикальную, горизонтальную и диагональную.

См. также

• Непрерывное вейвлет-преобразование
• Дискретное вейвлет-преобразование
• Вейвлетное сжатие