Алгоритм нахождения корня n-ной степени

Арифметическим корнем n-ной степени ⁿ√A положительного действительного числа A называется положительное действительное решение уравнения

$x^n = A$

(для целого n существует n комплексных решений данного уравнения, если A > 0, но только одно является положительным действительным).

Существует быстросходящийся алгоритм нахождения корня n-ной степени:

1. Сделать начальное предположение $x_0;$
2. Задать $x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right];$
3. Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

Частным случаем является итерационная формула Герона для нахождения квадратного корня, которая получается подстановкой n = 2 в шаг 2:

$x_{k+1} = \frac{1}{2}\left(x_k + \frac{A}{x_k}\right).$

Существует несколько выводов данного алгоритма. Одно из них рассматривает алгоритм как частный случай метода Ньютона (также известного как метод касательных) для нахождения нулей функции $f(x)$ с заданием начального предположения. Хотя метод Ньютона является итерационным, он сходится очень быстро. Метод имеет квадратичную скорость сходимости — это означает, что число верных разрядов в ответе удваивается с каждой итерацией (то есть увеличение точности нахождения ответа с 1 до 64 разрядов требует всего лишь 6 итераций). По этой причине данный алгоритм используют в компьютерах как очень быстрый метод нахождения квадратных корней.

Для больших значений n данный алгоритм становится менее эффективным, так как требуется вычисление $x_k^{n-1}$ на каждом шаге, которое, тем не менее, может быть выполнено с помощью алгоритма быстрого возведения в степень.

Вывод из метода Ньютона

Метод Ньютона — это метод нахождения нулей функции f(x). Общая итерационная схема:

1. Сделать начальное предположение $x_0;$
2. Задать $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)};$
3. Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

Задача нахождения корня n-ной степени может быть рассмотрена как нахождение нуля функции

$f(x) = x^n - A.$

Производная этой функции равна

$f^\prime(x) = n x^{n-1}.$

Тогда итерационное правило

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} =$

$= x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}} =$

$= x_k+\frac{1}{n}\left[\frac{A}{x_k^{n-1}}-x_k\right]=$

$= \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$

приводит к алгоритму нахождения корня n-ной степени.

Ссылки

• Atkinson, Kendall E. (1989), «An introduction to numerical analysis» (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 0471624896 .