Алгоритм Робинсона

Эта статья или раздел — грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой-переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь улучшить перевод. Оригинал можно найти слева в списке «на других языках». Статья, целиком являющаяся машинным переводом, может быть удалена на основании критерия быстрого удаления С2.

Алгоритм Робинсона — Шенстеда — комбинаторный алгоритм, впервые описанный  Робинсоном (англ.) в 1938, который устанавливает биективное соответствие между элементами симметрической группы $S_n$ и парами стандартных диаграмм Юнга той же формы. Он может рассматриваться как простое конструктивное доказательство тождества

$\sum_{\lambda\vdash n} (f^\lambda)^2= n!$

где $\lambda\vdash n$ означает, что $\lambda$ пробегает все разбиения $n$ и $f^\lambda$ — количество стандартных диаграм Юнга формы $\lambda$. Это достигается путём построения отображения из пары $\lambda$-таблицы $(P,Q)$ для перестановок $b$.

Определение

Robinson-Schensted алгоритм начинается от перестановки b написано в Лексикографические две линии нотации

$\begin{matrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \end{matrix}$

где $b(i)=b_i$, или вообще каких-либо Лексикографически упорядоченную последовательность пар

$\begin{matrix}a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \end{matrix}$

с a _я ≤ a _{, я + 1} и b _я ≤ б _{, я + 1} при a _я = a _{I + 1} , и доходов, создав последовательность упорядоченных пар молодых прибавились же фигуры:

$(P_0,Q_0), (P_1,Q_1),(P_2,Q_2),\ldots,(P_n,Q_n),$

где $P_0=Q_0=\varnothing$ являются null экспортировались. Выходной semistandard прибавились являются $P=P_n$ и $Q=Q_n$. Последовательности строится путем, на каждый шаг построения $P_i$, вставив $b_i$ в $P_{i-1}$ и строительства $Q_i$, размещение (Добавление элемента на указанный угол) $a_i$ в $Q_{i-1}$.

Учитывая молодой доски $T$, чтобы Вставить строку $x$ в $T$,

• Установите $R$ равным первой строке $T$

Хотя $R$ содержит элемент больше, чем $x$, делать

* Пусть $y$ быть наименьшим элементом $R$ больше, чем $x$.

* Заменить $y$ по $x$ в $R$.

* Установить $x=y$ и $R$ равным следующую строку вниз.

• Место $x$ в конце строки $R$ и стоп.

Таким образом алгоритм Robinson-Schensted действует следующим образом

• Установите $P_0=Q_0=\varnothing$

Для $i=1$ для $n$

* Построить $P_i$, добавив строку $b_i$ в $P_{i-1}$

* Построить $Q_i$, поставив $a_i$ в $Q_{i-1}$ на том же углу курсор прекращено (так, что $P_i$ и $Q_i$ имеют одинаковую форму)

Возвращение $(P_n,Q_n)$ Алгоритм обратима и производит пара semistandard молодых прибавились, которые являются стандартной молодых прибавились если $a_i=i$ и $b_i$ являются перестановка. Кроме того если перестановка $b$ дает пару $(P_n,Q_n)$ его обратная permuation $b^{-1}$ дает пару $(Q_n,P_n)$. В более общем плане если пара $a,b$ дает пару $(P_n,Q_n)$ тогда $b,a$ дает пару $(Q_n,P_n)$.

Вариации и обобщения

• Шенстед независимо обнаружил алгоритм и обобщил его для случая, когда $P$ является полу-стандартным и $b$ — это любая последовательность чисел $n$.
• Алгоритм Робинсона — Шенстеда — Кнута был разработан Кнутом и устанавливает биективне соответствии между обобщенными перестановками (двойные массивы лексикографически упорядоченных положительных целых чисел) и пар полу-стандартных таблиц Янга той же формы.

Ссылки

• Fulton, William (1997), «Young tableaux», vol. 35, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, MR1464693, ISBN 978-0-521-56144-0; 978-0-521-56724-4 
• Knuth, Donald E. (1970), "«Permutations, matrices, and generalized Young tableaux»", Pacific Journal of Mathematics Т. 34: 709-727, MR0272654, ISSN 0030-8730, <http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102971948> 
• Robinson, G. de B. (1938), "«On the Representations of the Symmetric Group»", American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) . — Т. 60 (3): 745–760, ISSN 0002-9327, doi:10.2307/2371609, <http://www.jstor.org/stable/2371609>  Zbl 0019.25102
• B. E. Sagan, The Symmetric Group, Graduate texts in mathematics 203 (Springer-Verlag, New York, 2001), ISBN 0-387-95067-2
• Schensted, C. (1961), "«Longest increasing and decreasing subsequences»", Canadian Journal of Mathematics Т. 13: 179-191, MR0121305, ISSN 0008-414X, <http://books.google.com/?id=G3sZ2zG8AiMC> 
• Stanley, Richard P. (1999), «Enumerative combinatorics. Vol. 2», vol. 62, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, MR1676282, ISBN 978-0-521-56069-6; 978-0-521-78987-5, <http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/> 
• Zelevinsky, A. V. (1981), "«A generalization of the Littlewood–Richardson rule and the Robinson–Schensted–Knuth correspondence»", Journal of Algebra Т. 69 (1): 82-94, MR613858, ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/0021-8693(81)90128-9