- Функция Вейерштрасса
-
График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику.
Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.
Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением:
,
где
— произвольное нечетное число, а
— положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
,
поэтому функция
определена и непрерывна при всех вещественных
. Тем не менее эта функция не имеет производной по крайней мере при
.
Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке
, строят две последовательности
и
, сходящиеся к точке
, и доказывают, что отношения
и
имеют разные знаки по крайней мере при
и
.
Для построения указанных последовательностей предварительно определяют такие целые числа
, чтобы разность
лежала между
и
, а затем полагают
и
.
Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях
и
Историческая справка
В 1806 году Ампер[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималось за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега[3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привел своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию
;
однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно, в 1970 году Дж. Джевер доказал, что эта функция все же имеет производную в некоторых рациональных точках. В 1872 году Вейерштрасс указал более простой контрпример — введенную выше функцию
и представил строгое доказательство ее недифференцируемости.[4] В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе Дюбуа-Реймона[5]. Еще более простой пример принадлежит ван дер Вардену (1930):
,
где фигурные скобки означают взятие дробной части. [6]
Примечания
- ↑ Hardy G. H. Weierstrass's nondifferentiable function // Trans - Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301–325. Впрочем и Вейерштрасс упоминал это утверждение в письме к Дюбуа-Реймону в 1873 году, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
- ↑ Ampère, A.M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
- ↑ Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 13.
- ↑ Доклад Вейерштрасса, прочитанный в Прусской академии наук 18 июля 1872 года, опубликован в собрании сочинений (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
- ↑ Du Bois-Reymond R. // J. für Math., 79 (1875), p. 21-37; Вейерштрасс был редактором этого журнала и сообщил о своем контрпримере в письме к Дюбуа-Реймону 23 ноября 1873 года, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
- ↑ Van der Waerden B.L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474—475.
Литература
- Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
- Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
- Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.
Категория:- Функции
Wikimedia Foundation. 2010.