Уравнение Кэли

Уравнение Кэли — Дарбу́ — дифференциальное уравнение с частными производными третьего порядка, которому должна удовлетворять функция $u(x_{1},x_{2},x_{3})$ для того, чтобы семейство поверхностей $u(x_{1},x_{2},x_{3})=const$ могло быть дополнено до трижды ортогональной системы поверхностей. Уравнение Кэли — Дарбу может быть записано в виде

$\begin{vmatrix} c_{11} & c_{22} & c_{33} & 2c_{12} & 2c_{23} & 2c_{31} \\ u_{11} & u_{22} & u_{33} & 2u_{12} & 2u_{23} & 2u_{31} \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ u_{1} & 0 & 0 & u_{2} & 0 & u_{3} \\ 0 & u_{2} & 0 & u_{1} & u_{3} & 0 \\ 0 & 0 & u_{3} & 0 & u_{2} & u_{1} \\ \end{vmatrix}=0$ ,

где

$c_{\alpha\beta}=\sum_{k=1}^3 (u_{k} u_{\alpha\beta k} - 2u_{\alpha k} u_{\beta k})$ ,

a

$u_{k}=u_{x_{k}},\cdots , u_{\alpha\beta\gamma}=u_{x_{\alpha }x_{\beta}x_{\gamma}}$ .

Уравнение Кэли - Дарбу получено в раскрытом виде А. Кэли^[1]. В приведенном виде выведено Г. Дарбу^[2].

Примечания

1. ↑ Cayley A., «C. r. Acad. sci.», 1872, t.75, p. 324-30; 381-85;
2. ↑ Daraboux G., Leçons sur les systémes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, P./ 1898;