Уравнение Винера

Уравне́ние Ви́нера — Хо́пфа — линейное интегральное уравнение с разностным ядром на положительной полуоси:

$\beta \varphi(x)=\lambda\int_{0}^\infty K(x-s)\varphi(s)\,ds+f(x),$

где $\varphi(x)$ — искомая функция; $f(x)$, $K(x-s)$ — известные функции, $\lambda, \beta$ — параметры. При $\beta=0$ называется уравнением Винера-Хопфа 1-го рода, при при $\beta=1$ называется уравнением Винера-Хопфа 2-го рода. Было получено Винером и Хопфом при решении задачи радиационного равновесия внутри звезд. Также используется в кибернетике, при решении задачи выделения, фильтрации полезного сигнала из его смеси с шумом.

Метод решения

Для решения вводятся т. н. односторонние функции $\varphi_{+}(x)$ и $f_{+}(x)$, равные $\varphi(x)$ и $f(x)$ при x>0 и равные 0 при x<0 и функция $\varphi_{-}(x)$, равная 0 при x>0. При помощи односторонних функций уравнение записывается в виде: $\beta \varphi_{+}(x)=\lambda\int_{-\infty}^{+\infty} K(x-s)\varphi_{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi_{-}(x)$. Таким образом, при помощи односторонних функций область определения уравнения продолжается на отрицательную полуось. Затем применяется прямое преобразование Фурье $\varphi^{\pm}(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_{\pm}(x)e^{iux}dx$. Для уравнения-образа $\varphi^{+}(u)=\frac{f^{+}+\varphi^{-}}{\beta-\lambda K^{*}(u)}$ решается краевая задача Римана, т.е. определяются функции $\varphi^{-}$ и $\varphi^{+}$. Решение интегрального уравнения является обратным преобразованием Фурье функции $\varphi^{+}$: $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi^{+}(u)e^{-iux}du$.

Литература

1. Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохоров. М. Сов.энциклопедия. 1988.
2. Н. Винер «Я-математик» М.: Наука, 1964, В 48 51 (09) УДК 510 (092), 353 стр. с илл., гл. 6 «Творческие успехи и радости. 1927—1931», с. 120—143;
3. Самойленко В. И., Пузырев В. А., Грубрин И. В. «Техническая кибернетика», учеб. пособие, М., изд-во МАИ, 1994, 280 стр. с илл., ISBN 5-7035-0489-9, ББК 14.2.5 С 17 УДК 621.396.6, гл. 3 «Синтез линейных систем. Оптимальные системы», п. 3.3 «Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера-Хопфа.», с. 60-63;
4. А. В. Манжиров, А. Д. Полянин «Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения», М., «Факториал Пресс», 2000, 384 стр., ISBN 5-88688-046-1, ББК 517.2 М 23 УДК 517.9, гл. 5 «Методы решения интегральных уравнений», п. 5.9-1 «Уравнение Винера-Хопфа второго рода».
5. Мышкис А. Д. «Математика для технических вузов», спец. курсы, 2-е изд, СПб, изд-во «Лань», 2002, 640 с., ISBN 5-8114-0395-X, гл. 7 «Интегральные уравнения», п. 4 «Некоторые специальные классы уравнений», п.п 8 «Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси».