- ВИНЕРА - ХОПФА МЕТОД
- метод решения функционального уравнения вида:
где
- заданные функции комплексного переменного
, аналитические в полосе
причем
отличны от нуля в этой полосе; функции '
- неизвестные функции комплексного переменного
, стремящиеся к нулю при
и подлежащие определению, причем
аналнтична при
аналитична при
Уравнение (1) выполняется в общей полосе аналитичности
Основой В.-X. м. являются следующие две теоремы. 1) Функция
, аналитическая в полосе
и равномерно стремящаяся к нулю при
, представима в этой полосе в виде суммы:
где
аналитична в полуплоскости
аналитична в полуплоскости
.
2) Функция
, аналитическая и отличная от нуля в полосе
и равномерно стремящаяся в этой полосе к единице при
, представима в данной полосе в виде произведения:
где
и
аналитичны и отличны от нуля, соответственно, в полуплоскостях
Представление (2) часто наз. факторизацией функции
Основная идея В.-X. м. заключается в возможности факторизации функции
т. е. в возможности представления
Используя (3), уравнение (1) можно переписать в виде:
Поскольку
аналитична в полосе, то
Используя (4), получают окончательно уравнение (1) в виде:
Левая часть выражения (5) представляет собой функцию, аналитическую в
, а правая - функцию, аналитическую в
. Так как они имеют общую полосу аналитичности, где выполняется условие (5), то существует единственная целая функция
, совпадающая, соответственно, с левой и правой частями (5) в областях их аналитичности. Отсюда
т. е. решение уравнения (1) определено с точностью до целой функции. Если степень роста функций
и
ограничена на бесконечности, то
будет многочленом. Тогда искомые функции определяются с точностью до постоянных, к-рые вычисляются из дополнительных условий.
В.-X. м. был разработан в [1] для решения интегральных уравнений специального вида (см. Винера - Хопфа уравнение). В дальнейшем он нашел широкое применение в различных задачах математич. физики (см. также [2]).
Лит.:[1] Wiener N., Hopf Е., Uber cine Klasse singularer Integralgleichungen, "Sitz. Akad. Wiss.", В., 1931; [2] Нобл Б., Применение метода Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, пер. с англ., М., 1962. В. И. Дмитриев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.