Теорема о промежуточной функции

Теорема о промежуточной функции — одна из простейших теорем, изучаемых в рамках курса математического анализа.

Формулировка

Пусть в некоторой окрестности $~U_a$ точки $~a$ функция $~f(x)$ заключена между двумя функциями $~\phi(x)$ и $~\psi(x)$, имеющими одинаковый предел $~A$ при $~x\rightarrow a$, то есть

$\phi(x) \le f(x)\le \psi(x)$

$\lim_{x \to a} \phi(x) \le \lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} \psi(x)$

Тогда $\lim_{x \to a} f(x) = A$.

Доказательство

Из неравенства $\phi(x) \le f(x)\le \psi(x)$ получаем неравенство $\phi(x)-A \le f(x)-A \le \psi(x)-A$. Тогда верно неравенство $\left | f(x) - A \right | \le \max(\left | \phi(x) - A \right |,\left | \psi(x) - A \right |)$. Условие $\lim_{x \to a} \phi(x) \le \lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} \psi(x)$ позволяет предположить, что для любого $~\epsilon > 0$ существует окрестность $~U_a$, в которой верны неравенства $\left | \phi(x) - A \right | < \epsilon$ и $\left | \psi(x) - A \right | < \epsilon$. Из изложенной выше оценки максимумом следует, что $\left | f(x) - A \right | < \epsilon$ при $x \in U_a$, что удовлетворяет определению предела, то есть $\lim_{x \to a} f(x) = A$.

Ссылка

• Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев Курс Высшей Математики. — издательство Астрель, 2007. — С. 121-122. — ISBN 5-271-01318-9

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.