- Теорема Крейна
-
Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.
пусть
— локально-выпуклое пространство,
— выпуклый компакт в
,
— совокупность крайних точек
. Тогда
совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества
.
Доказана советскими математиками Марком Григорьевичем Крейном и Давидом Пинхусовичем Мильманом (1940).
Доказательство
Пусть
— выпуклая оболочка крайних точек
. Так как
компактно и выпукло, то замыкание
Поэтому
компактно. Предположим, что некоторая точка
и
. Применяя теорему Хана — Банаха к
и
, показать, что
(
— теорема Хана — Банаха). Таким образом мы получаем противоречие построению
.
Теорема доказана.
Одно из приложений этой теоремы — доказательство неизоморфности различных банаховых пространств; другое — изящное доказательство де Бранжа теоремы Стоуна — Вейерштрасса.
Литература
- Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, 1988.
Категории:- Теоремы
- Функциональный анализ
- Выпуклая геометрия
- Комбинаторная геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.