Теорема Сазонова

Эта статья содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, переведя её до конца. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне.

Теорема Сазонова относится к области функционального анализа.

Теорема утверждает, что ограниченный линейный оператор между двумя Гильбертовыми пространствами является радонифицирующим, если это оператор Гильберта — Шмидта. Так же верно и обратное: если оператор не Гильберта-Шмидта, то он не является γ-радонизующим.

Результат также важен при изучении случайных процессов и Malliavin calculus, т.к. результаты, касающиеся вероятностной меры на бесконечномерных пространствах имеют центральное значение в этих областях.

Теорема

Пусть G и H Гильбертовы пространства и T : G → H ограниченный оператор из G в H.

T называется γ-радонизующим, если образ меры под действием отображения canonical Gaussian cylinder set measure on G is a bona fide measure on H.

T является оператором Гильберта-Шмидта, если в нём существует ортонормированный базис { e_i | i ∈ I } из G, такой что

$\sum_{i \in I} \| T(e_{i}) \|_{H}^{2} < + \infty.$

Теорема Сазонова утверждает, что T является γ-радонизующим, если это оператор Гильберта-Шмидта.

Для доказательства теоремы используется теорема Прохорова.