Символический образ динамической системы

Определение и основные понятия

Пусть $f\colon M\to M$ является отображением компакта $M\subset R^n$. Рассмотрим конечное покрытие $~c = {m(1),..., m(n)}$ компакта $~M$. Множество $~m(i)$ назовем ячейкой индекса $~i$ покрытия $~c$. Пусть $~G$ есть ориентированный граф, имеющий $~n$ вершин, при этом номер вершины $~i$ соответствует ячейке $~m(i)$. Вершины $~i$ и $~j$ связаны ориентированным ребром (дугой) $i\rightarrow j$, если

$m(j)\cap f(m(i))\neq \emptyset$.

Так построенный граф $~G$ называется символическим образом отображения $~f$ относительно покрытия $~c$.

Ориентированный граф однозначно описывается матрицей допустимых переходов $~\Pi =(\pi_{ij})$, где $~\pi_{ij}=1,$ если существует ориентированная дуга $i\to j$, иначе $~\pi_{ij}=0$.
Существование дуги $i\rightarrow j$ гарантирует существование точки $~x$ в ячейке $~m(i)$ такой, что ее образ $~f(x)$ лежит в ячейке $~m(j)$. Другими словами, дуга $i\rightarrow j$ является «следом» отображения $x\rightarrow f(x),$ где $x\in m(i),~f(x)\in m(j)$. Если дуги $i\rightarrow j$ не существует, то нет точки $x\in m(i)$, образ которой $~f(x)$ находился бы в $~m(j)$.

В общем случае, никаких ограничений на отображение и покрытие не накладывается. Отображение $~f$ может быть даже разрывным и не иметь обратного. Однако в приложениях $~f,$ как правило, является гомеоморфизмом. Покрытие $~c$ называется замкнутым, если каждая ячейка является замкнутым множеством. В численных расчетах ячейки выбираются параллелепипедами, которые пересекаются по граням. Если покрытие $~c$ является разбиением, то ячейки удобно выбирать полуоткрытыми параллелепипедами, а граничные диски приписать к одной из ячеек.

Символический образ отражает глобальную структуру динамической системы $\{f^k,\, k\in {\Bbb Z}\}$. Существует соответствие между орбитами системы и путями на символическом образе. Так, если $~\{x_k=f^k(x_0)\}$ есть орбита дискретной системы, то последовательность $\{i_k|\ x_k\in m(i_k)\}$ является (допустимым) путем на символическом образе. Для непрерывных динамических систем символический образ строится для отображения сдвига по траекториям, при этом выбор величины сдвига существенно влияет на результат. Символический образ является инструментом, который позволяет применить кодировку орбит при помощи допустимых последовательностей символов (допустимых слов) из конечного набора (алфавита). В нашем случае символы это вершины (или их номера), а допустимые слова — пути на символическом образе.

Символический образ можно рассматривать как конечную аппроксимацию отображения $~f$. Естественно, более мелкое покрытие порождает более точную аппроксимацию. Изучая символический образ, мы можем анализировать динамику системы. С помощью процесса последовательного подразбиения ячеек покрытия можно строить последовательность символических образов и, тем самым, уточнять структурные характеристики системы.

Процедура подразбиения

Пусть $~c=\{m(i)\}$ есть покрытие $~M$ и $~G$ является символическим образом относительно покрытия $~c$. Построим новое покрытие $~nc$, которое является подразбиением $~c$. Это означает, что каждая ячейка $~m(i)$ является объединением некоторых новых ячеек $~m(i,k),\ k=1,2,...,$ то есть

$\bigcup_{k}m(i,k)=m(i).$

Обычно процедура подразбиения является адаптивной, то есть подразбиваются только те ячейки, которые удовлетворяют определенным условиям. Например, при локализации цепно-рекуррентных множеств подразбиению на шаге $~k$ подвергаются те ячейки, образы которых пересекались с покрытием на шаге $~k-1$, остальные исключаются из рассмотрения.
Описанный метод успешно применен к решению следующих задач:

1. Локализация периодических траекторий заданного периода.
2. Построение периодической траектории.
3. Локализация цепно-рекуррентного множества.
4. Построение (положительно, отрицательно) инвариантного множества.
5. Построение аттрактора и его области притяжения.
6. Построение фильтраций и точной последовательности фильтраций.
7. Определение структурного графа динамической системы.
8. Оценка топологической энтропии.
9. Оценка показателей Ляпунова.
10. Оценка спектра Морса.
11. Проверка гиперболичности и нормальной гиперболичности.
12. Проверка структурной устойчивости.
13. Проверка управляемости.
14. Построение изолирующих окрестностей инвариантных множеств.
15. Построение приближений к инвариантным мерам.

Численное построение символического образа

Рассмотрим наиболее простой численный метод построения — точечный. В каждой ячейке $~m(i)$ выберем конечное множество точек $~n(i)$. Расположение точек может быть случайным или систематическим. Ясно, что объединение образов этих точек $~f(n(i))$ является аппроксимацией образа ячейки $~f(m(i))$. Рассмотрим возмущенное уравнение Дуффинга

$\dot{x} = y$
$\dot{y} =-0.1y-(x+x^{3})+\cos 2t$

в области [-2,2] x [-2,2]. Пусть покрытие $~\{m(i)\}$ состоит из замкнутых квадратов размером 0.25 x 0.25. Следовательно, мы имеем 16 x 16=256 ячеек. Нумерация ячеек начинается с левого верхнего угла и заканчивается в правом нижнем углу. Система дифференциальных уравнений является $~\pi$-периодической по времени $~t$. В этом случае динамика системы определяется отображением Пуанкаре $~f$, которое есть сдвиг вдоль траекторий на период $~T=\pi$.

Мы можем проверить включение $f(x)\in m(j),\ x\in n(i)$ и фиксировать дугу $i\rightarrow j$, если это включение имеет место. Повторив описанную процедуру для каждой ячейки покрытия, мы построим символический образ.

Локализация периодических орбит заданного периода

Точка $x\in M$ называется $~p$-периодической если $~f^{p}(x)=x$. Множество $~p$-периодических точек обозначим $~Per(p)$. Вершина символического образа $~G$ называется $~p$-периодической, если через нее проходит периодический путь периода $~p$. Пусть $~d$ есть наибольший диаметр ячеек покрытия. Обозначим $~P(p,d)$ объединение ячеек $~m(i)$, для которых соответствующие вершины являются $~p$-периодическими, то есть

$~P(p,d)=${$\bigcup m(i): i - p$-периодическая}

Следующая теорема описывает связь между $~p$-периодическими путями на символическом образе и $~p$-периодическими орбитами системы.

Теорема 1

Пусть покрытие $~c$ является замкнутым, тогда

1. множество $~P(p,d)$ является замкнутой окрестностью $~p$-периодического множества $~Per(p)$;
2. для любой окрестности $~V$ множества $~Per(p)$ существует $~d_{0}>0$, такое что

$Per(p)\subset P(p,d)\subset V,~d<d_{0}$,

то есть окрестность $~P(p,d)$ достаточно мала, если диаметр ячеек достаточно мал;

3. множество $~Per(p)$ совпадает с пересечением множеств $~P(p,d)$ для всех $~d>0:$

$Per(p)=\bigcap_{d>0}P(p,d)$

Применим процедуру адаптивного подразбиения. Здесь адаптивность означает, что ячейки, которые соответствуют $~p$-периодическим вершинам, подвергаются подразбиению, в то время как остальные ячейки исключаются из рассмотрения.

Алгоритм локализации

1. Строим исходное покрытие $~c$ компакта $~M$. Находим символический образ $~G$ отображения $~f$. Ячейки исходного покрытия могут иметь произвольный диаметр $~d_{0}$.
2. Выделяем на графе $~G$ $~p$-периодические вершины $~\{i_k\}$. Используя их, находим замкнутую окрестность
   $~P =${$\bigcup m(i_{k}): i_{k} - p$-периодические} множества $~Per(p)$.
3. Разбиваем ячейки $~\{m(i_k)\}$, соответствующие $~p$-периодическим вершинам символического образа. Таким образом, определено новое покрытие $~P =${$\bigcup m(i_{k}): i_{k} - p$-периодические}.
4. Строим символический образ $~G$ для нового покрытия.
5. Переходим ко второму пункту.

Повторяя процесс последовательного измельчения покрытия, мы получаем последовательность окрестностей $~P_{0}$, $~P_{1}$, $~P_{2}, \ldots$ множества $~Per(p)$ и последовательность диаметров $~d_{0}$, $~d_{1}$, $~d_{2},\ldots$. Следующая теорема обосновывает описанный алгоритм локализации множества $~Per(p)$.

Теорема 2

Последовательность множеств $~P_0,P_1,P_2,\ldots$ обладает следующими свойствами:

1. множества $~P_i$ вложены друг в друга и содержат множество $~Per(p)$, то есть $P_0\supset P_1\supset P_2\supset \ldots \supset Per(p);$
2. множество $~p$-периодических точек есть предел последовательности множеств$~P_k$ при $d_k\to \infty,$ $\lim_{k\rightarrow \infty }P_k=\bigcap_kP_k=Per(p).$

Литература

1. Осипенко Г. С., О символическом образе динамической системы, сб.Граничные задачи, Пермский государственный технический университет, Пермь, 1983, 101—105.
2. Осипенко Г. С., Ампилова Н. Б., Введение в символический анализ динамических систем, из-во Санкт-Петербургского университета, 2005.
3. Петренко Е. И., Разработка и реализация алгоритмов построения символического образа, Эл. журн. <Дифференциальные уравнения и процессы управления>, 3, 2006, 1-42.
4. Hadamar J., Les surfaces acourbures opposees et leur ligues geodesiques, J. de math. pure et appl., ser. 5, 1898 no. 4, 27-73.
5. D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding, New York, 1995.
6. Osipenko George, Dynamical systems, Graphs, and Algorithms, Lecture Notes in Mathematics, 1889, Springer, 2007.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.