Функция Кобба

Функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба — Дугласа — зависимость объёма производства $Q$ от создающих его факторов производства — затрат труда $L$ и капитала $K$.

Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом (англ. Charles Cobb) и Полом Дугласом (англ. Paul Douglas) в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

$Q = A \times L^{\alpha} \times K^{\beta}$

Где А — технологический коэффициент, α — коэффициент эластичности по труду, а β — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (α + β) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой»

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства

$Q \sim L^{0.73} \times K^{0.27} \,$

Обобщением функции Кобба — Дугласа является функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES функция): $Q = A[\alpha K^\gamma + (1-\alpha) L^\gamma]^{\frac{1}{\gamma}}$, которая соответствует функции Кобба — Дугласа при $\gamma = 1$.

Разногласия

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента $\lambda$ в разных секторах экономики.

Например, рассмотрим функцию для двух секторов экономики с одинаковыми технологическими коэффициентами:

$Q_{1}=A\times L_{1}^{\lambda}\times K_{1}^{1-\lambda}$ $Q_{2}=A\times L_{2}^{\lambda}\times K_{2}^{1-\lambda}$

Как видно в сумме мы не получим:

$Q_{1} + Q_{2}=A\times (L_{1}+L_{2})^{\lambda}\times (K_{1}+K_{2})^{1-\lambda}$

Равенство возможно лишь если:

$\frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{K_{1}}{K_{2}}$