Лемма Куратовского

Лемма Цорна (англ. Zorn's lemma), также известная как лемма Куратовского — Цорна (англ. Kuratowski – Zorn lemma), утверждает:

Частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент.

Лемма носит имена немецкого математика Макса Цорна и польского математика Казимира Куратовского.

Лемма Цорна, наряду с теоремой Цермело (принцип вполнеупорядочивания) и принципом максимума Хаусдорфа (который, по сути, является альтернативной формулировкой леммы Цорна), является одним из утверждений, эквивалентных аксиоме выбора.

История

Цорн не был первым, кто сформулировал предложение, которое теперь нам известно под названием лемма Цорна. Аналогичные и равносильные лемме Цорна утверждения предлагались математиками и раньше.

В 1904 году Эрнст Цермело доказал теорему, согласно которой каждое множество может быть вполне упорядочено. Для доказательства он привлек «неоспоримый логический принцип», который назвал аксиомой выбора. Сегодня мы знаем, что аксиома выбора, теорема Цермело и лемма Цорна — эквивалентные утверждения.

Принцип максимума Хаусдорфа, сформулированный и доказанный им в 1914 году, является альтернативной и более ранней формулировкой леммы Цорна.

В 1922 году Куратовски доказал лемму в формулировке, близкой к современной (для семейства множеств, упорядоченных по включению и замкнутых относительно объединения вполне упорядоченных цепей). Практически то же утверждение (в более слабой формулировке — не для вполне упорядоченных цепей, а для произвольных) независимо от него было сформулировано Цорном в 1935 году в его статье «Об одном методе из трансфинитной алгебры». Сам Цорн называл его «принципом максимума», и предлагал включить его в состав аксиом теории множеств и использовать для доказательства различных теорем теории полей вместо принципа вполнеупорядочивания Цермело.

Интересно, что современная формулировка леммы Цорна отличается от той, что была предложена Цорном в его статье 1935 года.

Название «лемма Цорна» впервые ввёл Джон Тьюки в 1940 году.

Формулировки

Существует несколько формулировок леммы Цорна.

Одна из них была приведена выше:

Лемма Цорна.Если в частично упорядоченном множестве M для всякого линейного упорядоченного подмножества существует верхняя грань, то в M существует максимальный элемент.

Лемма Цорна (первая формулировка). Частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхную грань, содержит максимальный элемент.

В приложениях наиболее удобна следующая формулировка, в которой утверждается существование максимального элемента, который не меньше заданного.

Лемма Цорна (вторая формулировка). Если всякая цепь в частично упорядоченном множестве $M$ имеет верхнюю грань, то всякий элемент из $M$ подчинен некоторому максимальному.

В оригинальной статье 1935 года Цорн сформулировал свое утверждение для множеств, частично упорядоченных по отношению включения.

Лемма Цорна (третья, оригинальная формулировка). Пусть семейство множеств $\mathfrak{M}$ обладает тем свойством, что объединение любой цепи множеств из $\mathfrak{M}$ есть снова множество из этого семейства. Тогда $\mathfrak{M}$ содержит максимальное множество.

Доказательство эквивалентности этих формулировок можно найти в статье «Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора».

Применения

Во многих задачах лемма Цорна является наиболее удобной из всех формулировок, эквивалентных аксиоме выбора. Лемма Цорна используется в доказательстве следующих теорем:

• Теорема Хана — Банаха о продолжении линейного функционала.
• Теорема о существовании базиса Га́меля в произвольном линейном пространстве.
• Теорема Тихонова.
• Теорема о существовании алгебраического замыкания произвольного поля.
• Теорема о существовании максимального идеала в кольце с единицей.

Пример: доказательство существования базиса Гамеля

В качестве примера использования леммы Цорна рассмотрим доказательство существования базиса в произвольном линейном пространстве.

Пусть $V$ — линейное пространство над полем $\mathfrak{R}$. Базисом (точнее, базисом Гамеля) в $V$ называется множество $B\subseteq V$, такое, что каждый вектор $\mathbf{v}\in V$ единственным образом может быть представлен как линейная комбинация конечного числа векторов из $B$. Другими словами, $B$ — базис, если удовлетворены следующие условия:

• линейная независимость:

если $\mathbf{v_1},\;\ldots,\;\mathbf{v_k}$ — различные элементы $B$, то равенство $\alpha_1\mathbf{v_1}+\ldots+\alpha_k\mathbf{v_k}=\mathbf{0}$ возможно лишь при $\alpha_1=\ldots=\alpha_k=0$;

• полнота:

для всякого вектора $\mathbf{v}\in V$ найдутся такие $\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_k\in\mathfrak{R}$, что $\mathbf{v}=\alpha_1\mathbf{v_1}+\ldots+\alpha_k\mathbf{v_k}$.

Заметим, что если система $B$ линейно независима, то условие полноты означает в точности, что при присоединении любого вектора $\mathbf{v}$, не входящего в $B$, новая система $B\cup\{\mathbf{v}\}$ будет линейно зависима. Таким образом, базис есть максимальная (по включению) линейно независимая система векторов.

Если пространство $V$ конечномерно (то есть существует $n$, такое что любая линейно независимая система состоит из $\leqslant n$ векторов), то доказательство существования базиса тривиально и не требует применения леммы Цорна. Начав с системы $B=\{\mathbf{v_1}\}$, состоящей из ненулевого вектора $\mathbf{v_1}\neq\mathbf{0}$, и присоединяя на каждом шаге вектор $\mathbf{v_i}$, такой что система $\{\mathbf{v_1},\;\ldots,\;\mathbf{v_i}\}$ линейно независима, через конечное число шагов получим максимальную линейно независимую систему.

В случае, если $V$ бесконечномерно, то существование максимальной линейно независимой системы векторов следует из леммы Цорна и того факта, что если $B_1\subseteq B_2\subseteq\ldots$ — цепь линейно независимых систем, то их объединение $\bigcup B_k$ есть также линейно независимая система.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
• Иосида К. Функциональный анализ. - М.: МИР, 1967, гл. IV,V
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — 4-е изд. — М.: УРСС, 2007. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.

См. также

• Аксиома выбора
• Принцип максимума Хаусдорфа
• Теорема Цермело
• Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора