- Дифферинтеграл Римана-Лиувилля
-
В математике, дифферинтеграл Римана-Лиувилля отображает вещественную функцию ƒ : R → R в другую функцию Iαƒ того же типа для каждого значения параметра α > 0. Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от ƒ в том смысле, что для целых положительных значений α, Iαƒ представляет собой повторную производную функции ƒ порядка α. Дифферинтеграл Римана-Лиувилля назван вчесть Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832.[1] Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции. [2] Он был обобщён на произвольные размерности Марцелем Риесом, который ввёл потенциал Риеса.
Интеграл Римана-Лиувилля определяется как:
где Γ - гамма-функция, а a произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции ƒ, α - комплексное число в полуплоскости Re(α) > 0. Зависимость от точки отсчёта a часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. I1ƒ конечно является первообразной (первого порядка) функции ƒ, для целых положительных значений α Iαƒ представляет собой первообразную порядка α в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид[3]:
Данное выражение имеет смысл и при a = −∞, с соответствующими ограничениями на ƒ.
Фундаметальными соотношениями остаются:
последние из которых представляет собой полугрупповое свойство.[1] Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции Iαƒ.
Содержание
Свойства
Пусть (a,b) - фиксированный ограниченный интервал. Оператор Iα отображает любую интегрируемую функцию ƒ на (a,b) в функцию Iαƒ на (a,b), которая также интегрируем по теореме Фубини. Таким образом, Iα определяет линейный оператор на L1(a,b):
Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на L1. Таким образом, верно следующее неравенство:
Здесь обозначает норму в L1(a,b).
В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если ƒ принадлежит∈ Lp(a,b), то и Iαƒ также принадлежит∈ Lp(a,b) и выполняется аналогичное неравенство:
где 0 норма в пространстве Lp на интервале (a,b). Таким образом, Iα определяет ограниченный линейный оператор из Lp(a,b) в себя. Более того, Iαƒ стремится к ƒ в Lp-смысле при α → 0 вдоль вещественной оси. То есть:
для всех p ≥ 1. Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора I можно доказать поточечную сходимость Iαƒ → ƒ почти всюду.
Оператор Iα хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой R. Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа Xσ = L1(e-σ|t|dt), состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма
конечна. Для ƒ из Xσ преобразование Лапласа функции Iαƒ принимает особенно простую форму:
где Re(s) > σ. Здесь через F(s) обозначено преобразование Лапласа функции ƒ и это свойство выражает тот факт, что Iα представляет собой Фурье-мультипликатор.
Дробные производные
Можно также определить производные дробного порядка от функции ƒ:
где через обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:
Примечания
- ↑ 1 2 Lizorkin 2001
- ↑ Brychkov & Prudnikov 2001
- ↑ Miller & Ross 1993, p. 21
Ссылки
- Brychkov, Yu.A.; Prudnikov, A.P. (2001), "Euler transformation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
- Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society.
- Lizorkin, P.I. (2001), "Fractional integration and differentiation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
- Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9.
- Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica Т. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02395016.
Внешние ссылки
- Alan Beardon Fractional calculus II. University of Cambridge (2000)..
- Alan Beardon Fractional calculus III. University of Cambridge (2000)..
Категория:- Дробное исчисление
Wikimedia Foundation. 2010.