Дифферинтеграл Римана-Лиувилля

В математике, дифферинтеграл Римана-Лиувилля отображает вещественную функцию ƒ : R → R в другую функцию I^αƒ того же типа для каждого значения параметра α > 0. Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от ƒ в том смысле, что для целых положительных значений α, I^αƒ представляет собой повторную производную функции ƒ порядка α. Дифферинтеграл Римана-Лиувилля назван вчесть Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832.^[1] Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции. ^[2] Он был обобщён на произвольные размерности Марцелем Риесом, который ввёл потенциал Риеса.

Интеграл Римана-Лиувилля определяется как:

$I^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^xf(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt$

где Γ - гамма-функция, а a произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции ƒ, α - комплексное число в полуплоскости Re(α) > 0. Зависимость от точки отсчёта a часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. I¹ƒ конечно является первообразной (первого порядка) функции ƒ, для целых положительных значений α I^αƒ представляет собой первообразную порядка α в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид^[3]:

${}_aD_x^{-\alpha}f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x f(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt.$

Данное выражение имеет смысл и при a = −∞, с соответствующими ограничениями на ƒ.

Фундаметальными соотношениями остаются:

$\frac{d}{dx}I^{\alpha+1} f(x) = I^\alpha f(x),\quad I^\alpha(I^\beta f) = I^{\alpha+\beta}f,$

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство.^[1] Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции I^αƒ.

Свойства

Пусть (a,b) - фиксированный ограниченный интервал. Оператор I^α отображает любую интегрируемую функцию ƒ на (a,b) в функцию I^αƒ на (a,b), которая также интегрируем по теореме Фубини. Таким образом, I^α определяет линейный оператор на L¹(a,b):

$I^\alpha : L^1(a,b) \to L^1(a,b).$

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на L¹. Таким образом, верно следующее неравенство:

$\|I^\alpha f\|_1 \le \frac{|b-a|^{\operatorname{Re}(\alpha)}}{\operatorname{Re}(\alpha)|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_1.$

Здесь $\|\cdot\|_1$ обозначает норму в L¹(a,b).

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если ƒ  принадлежит∈ L^p(a,b), то и I^αƒ  также принадлежит∈ L^p(a,b) и выполняется аналогичное неравенство:

$\|I^\alpha f\|_p \le \frac{|b-a|^{\operatorname{Re}(\alpha)/p}}{\operatorname{Re}(\alpha)|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_p$

где $\|\cdot\|_p$ 0 норма в пространстве Lp на интервале (a,b). Таким образом, I^α определяет ограниченный линейный оператор из L^p(a,b) в себя. Более того, I^αƒ стремится к ƒ в L^p-смысле при α → 0 вдоль вещественной оси. То есть:

$\underset{\alpha > 0}{\lim_{\alpha\to 0}} \|I^\alpha f-f\|_p = 0$

для всех p ≥ 1. Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора I можно доказать поточечную сходимость I^αƒ → ƒ почти всюду.

Оператор I^α хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой R. Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа X_σ = L¹(e^-σ|t|dt), состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

$\|f\| = \int_{-\infty}^\infty |f(t)|e^{-\sigma|t|}\,dt$

конечна. Для ƒ из X_σ преобразование Лапласа функции I^αƒ принимает особенно простую форму:

$(\mathcal{L}I^\alpha f)(s) = s^{-\alpha}F(s)$

где Re(s) > σ. Здесь через F(s) обозначено преобразование Лапласа функции ƒ и это свойство выражает тот факт, что I^α представляет собой Фурье-мультипликатор.

Дробные производные

Можно также определить производные дробного порядка от функции ƒ:

$\frac{d^\alpha}{dx^\alpha} f \overset{def}{=} \frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}} I^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f$

где через $\lceil\cdot\rceil$ обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

$D^\alpha_x f(x) = \begin{cases} \frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}} I^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x)& \alpha>0\\ f(x) & \alpha=0\\ I^{-\alpha}f(x) & \alpha<0. \end{cases}$

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Lizorkin 2001
2. ↑ Brychkov & Prudnikov 2001
3. ↑ Miller & Ross 1993, p. 21

Ссылки

• Brychkov, Yu.A.; Prudnikov, A.P. (2001), "Euler transformation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society .
• Lizorkin, P.I. (2001), "Fractional integration and differentiation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica Т. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02395016 .

Внешние ссылки

• Alan Beardon Fractional calculus II. University of Cambridge (2000)..
• Alan Beardon Fractional calculus III. University of Cambridge (2000)..