Производная Пеано

Производная Пеано ― одно из обобщений понятия производной.

Пусть имеет место равенство

$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+\frac{a_r}{r!}(x-x_0)^r+\gamma(x)(x-x_0)^r$

где $a_0,a_1,\dots,a_r$ ― постоянные и $\gamma(x) \to 0$ при $x\to x_0$ и $\gamma(x_0)=0$. Тогда число $a_r$ называется обобщенной производной Пеано порядка $r$ функции $f$ в точке $x_0$.

Обозначение: $f_{(r)}(x_0) = a_r$, в частности $f_{(0)}(x_0)=f(x_0)$, $f_{(1)}(x_0)= f'(x_0)$.

Свойства

• Если существует $f^{(r)}(x_0)$, то существует и $f_{(k)}(x_0)$ для $k\le r$.

• Если существует конечная обычная двусторонняя производная $f^{(r)}(x_0)$, то $f_{(r)}(x_0)=f^{(r)}(x_0)$. Обратное неверно при $r>1$: для функции $f(x)=x^nD(x)$, где $D$ — функция Дирихле все $f_{(r)}(0)=0$ для $r<n$ тогда как $f^{(r)}(0)$ не определена для всех $r>1$.