Число Грехема

Число Грехема

Число Грехема

Число Грехема, названное в честь Рональда Грехема, это большое число которое является верхней границей для решения некоторой проблемы в теории Рамсея.

Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977, где было сказано «В неопубликованоом доказательстве, Грехем недавно установил … границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».

В 1980 Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле, вся наблюдаемая вселенная слишком мала, для того, что бы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема, предполагая, что запись каждой цифры занимает по меньщей мере объём Планка. Даже степенные башни вида a ^{ b ^{ c ^{ \cdot ^{ \cdot ^{ \cdot}}}}} бесполезны для этой цели, хотя это число и может быть записано с использованием рекурсивных формул таких как стрельчатая нотация Кнута или эквивалентных, что и было сделано Грехемом. Последние 10 цифр числа Грехема это …2464195387.

В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много большие, чем число Грехема, например в работе с конечной формой Фридмана в теореме Крускала.

Содержание

Проблема Грехема

Число Грехема связано со следующей проблемой в области математики, известной как теория Рамсея:

Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2n вершинами. Раскрасим каждое ядро этого графа либо в красный, либо в чёрный цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости

Грехем и Ротщильд в 1971 доказали, что это проблема имеет решение, N*, и показали что 6 ≤ N*N, где N — конкретное, точно определённое, очень большое число. (На языке стрельчатой нотации Кнута оно может быть записано как N = F^7(12) \,\!, где F(n) = 2\uparrow^{n} 3 \,\!). Нижняя граница 6 ,была впоследствии улучшена Экзу [2003], который показал, что решение должно быть как минимум 11 и продемонстрировал экспериментальные свидетельства в пользу того, что оно, по меньшей мере 12. Таким образом, наиболее известные границы для N* на сегодня 11 ≤ N*N.

Предметом настоящей статьи является верхняя граница G, которая много слабее (то есть больше) чем N; а именно G = f^{64}(4) \,\!, где f(n) = 3 \uparrow^n 3 \,\!. Именно эта граница, описанная в неопубликованной работе Грехема, и была описана (и названа числом Грехема) Мартином Гарднером.

Определение числа Грехема

Используя стрельчатую нотацию Кнута, число Грехема G может быть записано как

 
\left. 
 \begin{matrix} 
  G &=&3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\
    & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\ 
    & &\underbrace{\qquad\;\; \vdots \qquad\;\;} \\ 
    & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdot\cdot \uparrow}3 \\
    & &3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3
 \end{matrix} 
\right \} \text{64 layers}

где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть

G = g_{64},\text{ где }g_1=3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3,\  g_n = 3\uparrow^{g_{n-1}}3,

и где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами, G вычисляется в 64 шага: на первом шаге мы вычисляем g1 с четырьмя стрелочками между тройками, на втором — g2 с g1 стрелочек между тройками, на третьем — g3 с g2 стрелок между тройками и так далее, в конце мы вычисляем G = g64 с g63 стрелочек между тройками.

Это может быть записано как

G = f^{64}(4),\text{ где }f(n) = 3 \uparrow^n 3,

где верхний индекс у f означает итерации функций. Функция f является частным случаем гипероператоров, f(n) = hyper(3,n + 2,3), и может быть так же записана при помощи нотации цепных стрелок Конуэя как f(n) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow n. Последняя запись так же позволяет записать следующие граничные значения для G:

 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < G < 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2.\,

Массштаб числа Грехема

Для того, что бы осознать невероятный размер числа Грехема, полезно попробовать представить через возведение в степень хотя бы первый член (g1) стремительно растущей 64-членной последовательности. На языке тетратионов \uparrow\uparrow) означает:

 
g_1 
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 3) 
= 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots ))

где число троек в выражении справа

3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 \ = \ 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3).

Теперь каждый тетратион (\uparrow\uparrow) по определению разворачивается в «степенную башню» как

3 \uparrow\uparrow X \ = \ 3 \uparrow (3 \uparrow (3 \uparrow \dots (3 \uparrow 3) \dots )) \ = \ 3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}} \quad \text{где X - количество 3-ек}.

Таким образом,

g_1 = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots )) \quad \text{ где количество 3-ек -} \quad  3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3)

записанное на языке степеней


g_1 = 
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}\end{matrix}
  \right \} 
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}\end{matrix}
  \right \}
    \dots 
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^3}\end{matrix}
  \right \}
    3
  \quad \text{где количество башен -} \quad 
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}\end{matrix}
  \right \}
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^3}\end{matrix}
  \right \}
    3

и где количество троек в каждой башне, начиная слева, указывается предыдущей башней.

Другими словами, g1 выисляется путём выисления количества бащен, n = 3³³^…³ (где число троек — 3³³ = 7625597484987), и затем вычисляя n бащен в следующем порядке:

      1ая бащня:  3

      2ая башня:  3^3^3 (number of 3s is 3) = 7625597484987

      3ья башня:  3^3^3^3...^3 (number of 3s is 7625597484987) = ...

      .
      .
      .

 g1 = nтая башня:  3^3^3^3^3^3^3^...^3 (количество 3-ек задаётся результатом выисления n-1ой башни)

Масштаб первого члена, g1, настолько велик, что его практически невозможно осознать, хотя запись выше относительно проста для понимания. Хотя n это всего лишь количество башен в этой формуле для g1, уже это число много больше количества объёмов Планка которые содержатся в наблюдаемой вселенной (примерно 10^185). А после первого члена нас ожидает ещё 63 члена стремительно растущей последовательности!

См. также

Ссылки

  • Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971). «Ramsey's Theorem for n-Parameter Sets». Transactions of the American Mathematical Society 159: 257-292. DOI:10.2307/1996010. The explicit formula for N appears on p. 290.
  • Graham, R. L.; Rothschild, B.L. (1978). «Ramsey Theory», Studies in Combinatorics, Rota, G.-G., ed., Mathematical Association of America, 17:80-99. On p. 90, in stating «the best available estimate» for the solution, the explicit formula for N is repeated from the 1971 paper.
  • Gardner, Martin (November 1977). «Mathematical Games». Scientific American 237: 18-28.; reprinted (revised 2001) in the following book:
  • Martin Gardner The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. — New York, NY: Norton, 2001. — ISBN 0393020231
  • Martin Gardner Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. — Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 1989. — ISBN 0-88385-521-6
  • Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey Problem». Discrete Computational Geometry 29: 223-227. DOI:10.1007/s00454-002-0780-5.

Внешние ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Число Грехема" в других словарях:

  • Число Грэма — (Грехема, англ. Graham s number)  большое число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Названо в честь Рональда Грэма (англ.). Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин …   Википедия

  • Битва при Геттисберге — Координаты: 39°48′16″ с. ш. 77°14′11″ з. д. / 39.804444° с. ш. 77.236389° з. д.  …   Википедия

  • Суфизм — (суфийство, по араб. тасаввоф ) понятие, означающее собою в зап. исламском мире мистицизм, а в восточно исламском (персидском и персидско индийском) пантеистическую теософию, близкую и к индийскому буддизму, и к греческому неоплатонизму.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Лёгкая атлетика — Характеристика …   Википедия

  • Легкая атлетика — Лёгкая атлетика Track and Field Олимпийский вид спорта с 1896 г. (мужчины) 1928 г. (женщины) …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»